玄宇宙计划
集合论真理的证据和
超宇宙计划
西·大卫·弗里德曼
维也纳大学库尔特·哥德尔研究中心
sdf@logic.univie.ac.at
我讨论了集合论中真理的三个潜在证据来源，来自
确定理论作为数学分支和数学基础的作用
以及集合概念的内在极大性特征。我预测
新的非一阶公理将会被发现，并且有所有三个公理的证据
类型，并且这些公理将产生显着的一阶后果，这将
被视为集合论的真实陈述。论文的大部分内容涉及
超宇宙计划，其目的是发现一个最佳的数学
表达集合论宇宙的高度和最大值的原理
宽度。
1 简介
ZFC 公理的真实性被普遍接受至少有两个原因。
其中一个原因是基础性的，因为它们赋予集合论作为一种理论的能力。
整个数学的基础非常好，另一个是内在的，
因为（除了 AC 可能的例外，选择公理）它们可以被视为
可以从最大迭代概念所体现的集合概念推导出来。
事实上，比 ZFC 多一点点在本质上甚至是基础上都是合理的。我这里指的是反射原理及其相关的小大
基数，也可以通过最大迭代概念推导出来
高度（序数）最大值，并且至少在不可访问基数的情况下，是
有时对于某些类型的高度抽象数学（例如格罗腾迪克宇宙）的发展很有用。ZFC 的这些扩展在以下方面是温和的：
感觉它们与幂集极小性原理 V = L 兼容。
但找到与 V = L 相矛盾的公理真实性的有力证据已经
非常困难。有许多的原因。其一是
卷。\j卷号 \j编号 \jyear
IFCoLog 逻辑杂志及其应用
弗里德曼
事实上，ZFC 的温和扩展在某种意义上来说太好了，因为它们单独
直到最近已经足以满足集合论作为基础的需要
对于数学。另一个是从最大的压力中榨取更多的困难
通过高度的宽度（幂集）最大值模拟的迭代概念
引发反思的最大化原则。以及集合论的发展
作为数学的一个分支，它是如此引人注目、多样化和不断变化，以至于
不可能选择那些对这个主题的观点
新公理堪称“最真”。
我写这篇文章的目的是为以下三个预测提供证据。
集合论实践的丰富性。集合论作为一个分支的发展
数学知识如此丰富，以至于对于哪一个一阶数学永远不会达成共识
公理（除了 ZFC 加上小大基数）最适合这种发展。
基本需求。正如 AC 现在因其在数学实践中的重要作用而被接受一样，对数学独立性结果的系统研究
将发现与 CH 相矛盾的一阶语句（因此也 V = L），其中
最适合解决这种独立性问题。
最优极大性准则。通过超宇宙计划，它将
有可能得出表达最大值的最优非一阶公理
集合论宇宙的高度和宽度；该公理将具有一阶
结果与 CH 相矛盾（因此 V = L）。
作为这三个预测的综合，我提出以下乐观的预测
集合论真理研究取得进展的情景。
集合论真理论文。将存在集合论的一阶陈述
很好地满足了集合论实践和解决跨领域独立性的需求
数学，可导1
从集合论的极大值
宇宙的高度和宽度。此类陈述将被视为真实
集合论的陈述。
本论文有一个反面：为了使一阶陈述与
V = L 被认为是正确的，在我看来，它必须很好地满足集合论实践和解决数学独立性的需要，并且它必须满足
至少与所表达的集合论宇宙的极大性相容
1 有关可导性概念的讨论，请参见最后的第 4.12 小节。
超宇宙计划
通过最优极大值准则。事实上，这种证据的强度
在我看来，一个陈述的真实性是通过它满足这些条件的程度来衡量的
三个要求。
该论文的一个重要后果是CH的失败。因此我的一部分
预测是CH将被视为错误。
请注意，在论文中我没有提到真正的一阶公理，而只是提到真正的一阶公理
一阶语句。原因是以下附加主张。
超越一阶。对于提议的真实性永远不会达成共识
与 V = L 相矛盾的一阶公理；相反，真正的一阶语句将
仅作为真正的非一阶公理的结果而出现。
这种说法的一个原因是一阶语句不足以捕获
集合论宇宙的极大性。
本文的计划如下。首先，我将回顾一些流行的一阶公理，它们很好地满足了集合论实践的需要，并论证了
上面的丰富度预测。其次，我将讨论关于数学独立性的鲜为人知的知识，讨论强制公理作为证明数学独立性的证据的作用
上面的基础预测。到目前为止，本文的主要目标是
是第三部分，我在其中介绍了超宇宙计划，包括它的
哲学基础和最新的数学发展。
2 集合论实践
集合论是一门新兴学科，充满了新思想和新发展，
不断带来新的视角。当然，这些观点中的某些观点是站得住脚的
从众多正在被证明的新结果中脱颖而出，值得关注
其中一些揭示了确定特定新公理的困难
“真实的人”。
我强调需要找到与 V = L 相矛盾的公理的真实性的证据，但纯粹是从公理对于发展
好的集合论，我将其称为第一类证据，这是不可能的。詹森的
深入研究揭示了该公理的力量，揭示了 V = L 的力量，确实如此
当与小大基数结合时，似乎给我们提供了一个对于所有自然集合论陈述来说都是完整的理论！这是一项了不起的成就
很有说服力地支持基于第 1 类证据宣布 V = L 为真。
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对 V = L 的第 1 类自然反对意见是它没有考虑强迫，
建立集合论新模型的基本方法。诚然，即使在L
可以强制扩展可数模型，但强制扩展更为自然
完整的 L 而不仅仅是其中的一小部分。所以现在我们矛盾 V = L
支持“V 包含 L 的许多通用扩展”或类似的内容。
L 的大量强制扩展听起来不错，但是我们的规范是什么
现在宇宙？难道我们不应该有一个只在 V 中为真的句子，而不是
在其任何适当的内部模型中，同时具有许多通用的
L 的扩展？事实上，通过类强制这是可能的（参见[11]）。所以现在我们
有一个很好的 1 型公理：V 是一个规范宇宙，它是 L 上的类通用的，
包含 L 的许多集合通用扩展。这是一个很好的上下文
集合论，因为现在可以使用强制方法。
事实上我们可以做得更好，将 V 设为 L[0#]。这个模型不仅
包含 L 的许多通用扩展，它也是一个规范宇宙，我们恢复
Jensen 在 V = L 下开发的所有强大方法，现在相对化为
真正的0#。因此，我们的 1 类证据引导我们得出极好的公理 V = L[0#]。
异议！可测基数又如何呢？回忆一下重要的层次结构
一致性优势：自然理论是井然有序的（达到双向可解释性）
通过它们的一致性强度和大基数公理的一致性强度
提供了一个很好的一致性强度集合，它在一个大的初始中是共同的
该层次结构的一部分（如果不是全部）。这并不意味着大红衣主教
必须存在，但至少应该有包含它们的内部模型。所以现在
基于第一类证据，我们得到了一些版本的“存在具有大的内部模型”
红衣主教”，这是一个进行良好集合论的有吸引力的环境。
此外，请注意，如果我们有大基数的内部模型，我们就不会丢失
查看 L 或其通用扩展的选项，它们仍然可用作内部
楷模。所以我们似乎已经达到了迄今为止最好的 1 类公理。
但我们还可以要求更多。回想一下，L 有一个很好的内部结构，非常
对于导出 V = L 的结果非常有用。V 不仅可以有内部模型吗
对于大红衣主教还有L型内部结构？答案当然是
积极的，因为我们可以采用公理“存在具有大基数的内部模型
对于某个实数 x，V = L[x]”。[14] 中提供了更好的答案，其中显示了
V 可以与任意大基数一起呈 L 型，不仅在内部模型中
但在V本身。然而，尽管这听起来很有吸引力，但它未能解决一个关键问题
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问题，这就是我们看到集合论的多个视角的地方，
单一观点自称是“最好的”。
即使我们产生了一个很好的公理2，其形式为“有大基数和 V
是 L 的规范概括”，这样做使我们进入一个类似 L 的环境
哪个做集合论。事实上，集合论还有其他令人信服的观点
这导致我们进入非 L 类环境，并相应地进入完全不同的环境
类型 1 公理。我会提到其中两个。（有关概念的更多信息
下面提到的可在[22]中找到）。
强制公理有着悠久的历史，可以追溯到马丁公理（MA），
其特殊情况断言存在 ccc 偏序的泛型（即
仅具有可数反链的偏序）超过大小为 ℵ1 的模型。这个简单的
公理可用于一次性建立大范围的相对一致性
集合论陈述。自然有人对加强
MA，一种流行的公理是适当的强制公理 (PFA)，它强化了这一点3
到更广泛的真偏序类。
现在关于 1 类证据，重点是 PFA 具有更引人注目的证据
其后果比 MA 更重要，使其成为解决问题的核心和重要工具
集合论中的组合问题。可以用强有力的案例证明其真相
基于类型 1 证据。但当然 PFA 与任何公理相冲突
断言 V 是类似 L 的，因为它意味着 CH 的否定。事实上 PFA 意味着
连续体的大小为 ℵ2。
1 类证据的多样性不仅仅是 L 相似性和强制公理；
还有一些基本特征。这些都是自然的且经过大量研究的
研究可定义性理论和组合时出现的基数
实数集的性质。这些基本特征中的每一个都是不可数的基数，其大小至多是连续体。现在考虑到各种
这些特征以及它们可以始终不同于每个特征的事实
另外，采用基本特征提供的公理不是很引人注目吗？
一系列低于连续统大小的不同不可数基数
因此，连续统确实相当大，这与 L 相似性相矛盾
并强制公理？4
2Woodin 事实上提出了这样一个公理，他称之为 Ultimate L。
3对于专家来说，要获得 PFA，必须允许大小为 ℵ1 的非传递模型。
4 作为一个具体示例，让 a 表示无限几乎不相交的子集族的最小大小
ω 和 b (d) 从 ω 到 ω 有序的无界（主导）函数族的最小尺寸
通过最终的统治。那么 b < a < d 是一致的；事实上不应该是这样吗？
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因此，我们拥有三种不同类型的公理，并且具有出色的 1 类证据：
与大基数、强制公理和基数特征公理的 L 相似性。
它们相互矛盾，但又都与内部模型的存在相一致
对于其他人。在我看来，这清楚地表明第一类证据不足
确立集合论公理的真实性；也不足以决定是否
或不 CH 为真。
3 集合论作为数学基础
当然，我们可以衷心祝贺公理集合论成功地为数学提供了基础。一个压倒性的案例可以证明
当定理在数学中被证明时，它们可以被视为一个定理
ZFC 的轻度扩展（与 V = L 兼容）。特别是，我们通常期望
数学问题可以用温和的方式回答（也许有很大的困难！）
ZFC 的扩展。
结果是，这种温和扩展的独立结果确实是
整个数学的独立结果。这当然是小事
如果所讨论的独立性结果是集合论的陈述，那么重要性，如集合
理论只是数学的一小部分。但这非常重要
当集合论之外的数学问题出现独立性时，如
博雷尔、卡普兰斯基和怀特海测度猜想就是这种情况
理论、泛函分析和群论。让我们不要忘记
伟大数学家大卫·希尔伯特的论文认为数学问题可以
使用该主题的强大工具来解决。了解如何处理
恢复数学作为完整学科的地位需要独立性
以及希尔伯特设想的明确的研究领域。
集合论学家关注这个问题的时机已经成熟。中心问题
是：
基础或类型 2 证据：是否存在集合论的特定公理
最能满足解决数学其他领域独立性的需求？
最近有迹象表明这个问题正在出现积极的答案，
集合论在泛函分析、拓扑、抽象代数和
模型论（逻辑领域，但仍在集合论之外）正在被发现。这
我之前表达的基本需求正是对一种模式的预测
将从这些应用中出现，揭示集合论的特定公理
超宇宙计划
最适合使集合论更接近希尔伯特的完整基础
希望。
现在这些集合论的基本优势公理在哪里？
成立？考虑以下具有良好 1 类证据的候选人列表：
V = L
V 是 L 的规范且丰富的类通用扩展
大基本公理（如超紧凑公理）
强制公理，如 MA、PFA
L(R) 中的 AD 等确定性公理
基本特征公理如 b < a < d
正如已经说过的，这些公理中的每一个对于集合的发展都很重要
理论，为该主题提供独特的视角。但也许令人惊讶的是
发现其中只有两个，V = L 和强制公理，有任何显着的意义
对集合论之外的数学的影响！大基本公理的影响
（如超级紧凑）和基本特征公理已经是最小的，并且
到目前为止，确定性公理还不存在。
为了提供更多细节，V = L 和强制公理都可以用来回答
以下问题（以不同方式）：
泛函分析：必须来自 C(X)、X 紧凑 Hausdorff 的每个同态，
进入另一个巴拿赫代数是连续的（卡普兰斯基问题）？是理想的
所有有界算子环中的可分离希尔伯特空间上的紧算子
两个较小理想的总和？；卡尔金代数的所有自同构都是内自同构吗？
拓扑与测度论：每个正规摩尔空间都是可度量的吗？是
有 S 空间（常规的、遗传性可分离的空间，其中一些开放的盖子没有
可数子覆盖）？每个强测度 0 组实数是否可数（Borel
推测）？
抽象代数：每个怀特海群都是自由的（怀特海问题）吗？什么
是 R(x, y, z) 作为 R[x, y, z] 模的同调维数，其中 R 是
实数域？无数领域的直接产物是否具有全球性
维度 2？
人们还可以提到模型理论领域（逻辑的一部分，但不是逻辑的一部分）
集合论），其中集合论的新公理可能在
弗里德曼
研究抽象基本类的莫利定理，甚至可能在
沃特猜想的解决。
我的预测是 V = L 和 Forcing Axioms 将是明确的赢家
解决数学独立性的集合论公理的选择
作为一个整体。但由于 V = L 与集合论的极大值相冲突
宇宙的宽度，它不适合作为集合论命题的实现
事实证明，Forcing Axioms 是当前的主要候选者。
4 集合论宇宙的极大性和
惠普
字母 HP 代表超宇宙计划，我现在在
细节。
4.1 集合的迭代概念
正如哥德尔所说，集合的迭代概念表达了这样的想法：集合是通过幂集的迭代应用从明确定义的对象中获得的东西
手术。更详细地（遵循 Boolos [7]；另请参阅 [27]）：集合形成于
阶段，其中仅在阶段 0 和任何更大的阶段形成空集
小于 0，1 形成早期阶段形成的集合的集合。（这样说，
集合在最初形成之后的每个阶段都会重新形成，但这没关系。）
任何集合都是在其元素形成之后的某个最低阶段形成的。这
概念排除异常：我们不能有 x ∈ x，不存在所有集合的集合，
不存在循环 x0 ∈ x1 ε · · · ε xn ε x0 并且不存在无限序列
···ε xn ε xn−1 ε xn−2 ε ··· ε x1 ε x0，因为必须存在至少一个阶段
xn 之一已形成。我们假设有无限个集合5
，所以迭代
过程导致极限阶段 ω，它不为 0，也不是后继阶段。
迭代概念得出集合的宇宙是公理的模型
Zermelo 集合论，即无替换且无以下公理的 ZFC
选择。该理论的标准模型是Vω+ω。
尽管如此，替换和 AC（选择公理）作为一部分包含在内
出于非常不同的原因，集合论的标准公理。交流案例
通常是基于外在理由，引用其对发展的成果
5 一旦我们将极大性添加到迭代概念中，这就是可推导的，但很方便
假设已经作为迭代概念的一部分。
超宇宙计划
数学的基础及其相应的集合论作为基础的必要性
数学（我称之为第二类证据的一个例子）。我不清楚
选择源自迭代概念，也源自其必要性
做得很好集合论（第一类证据）。
另一方面，替换可以从集合的概念中推导出来。查看
为此，我们需要将迭代概念扩展到更强的最大迭代
概念，也隐含在集合概念中。
4.2 极大性和迭代概念
术语“最大值”在集合论中有许多不同的含义，我在
这里的思维是与迭代概念（IC）相关的一个非常具体的用途。记起
根据 IC，集合出现在由序数索引的级别内，
其中每个后继级别 Vα+1 是前一个级别的幂集。正如布洛斯解释的那样，
IC 本身并不能说明有多少层（宇宙的高度）
V ）或各个级别的厚度（V 的宽度）。不过一般都是这样
被视为隐含在集合概念中，这两者都应该是最大的：
高度（或序数）最大值：宇宙 V 尽可能高，即
序数序列尽可能长。
宽度（或幂集）最大值：宇宙 V 尽可能宽（或厚），
即每组的幂集尽可能大。
如果我们将 IC 与最大值结合起来，我们就会得到 MIC，即最大迭代概念，也是集合概念的一部分，但解释起来更具挑战性
简单的IC。
很自然地看到最大化的比较方面，即与
可能意味着在可能性范围内尽可能大。于是自然而然
解释高度和宽度最大值的方法是将 V 与其他可能的进行比较
宇宙。
但现在我们面临着一个严重的问题。如果 V 是所有集合的固定宇宙，那么
除了 V 中已经包含的宇宙之外，没有其他宇宙。换句话说，V 是
默认情况下是最大值，因为没有其他宇宙可以威胁其最大值，因此
对于这个概念，我们能说的有限。
弗里德曼
我暂时推迟这个问题，转而讨论一个更简单的问题：让 M
表示 ZFC (ctm) 的可数传递模型。这句话是什么意思
M 最大？
现在我们有一个不同的问题。表达最大化的自然方式
M的意思是说M不能扩展到更大的宇宙。让我们称之为
结构最大化。但在一个非常温和的假设下（有一个集合模型
ZFC 包含所有实数）这是不可能的：任何 ctm M 都是一个元素（并且
因此是更大 ctm 的真子集）。
因此，我们转向一种更温和的最大化形式，称为句法最大化，
表达如下。
在（句法）高度最大值的情况下，我们考虑 M 的延长，即
ctm 的 M*，其中 M 是等级初始段（M 的序数形成初始序列）
M* 的序数段和这两个宇宙的幂集运算
同意 M) 中的集合。
在宽度最大的情况下，我们考虑 M 的加厚，即 ctm 的 M*
其中 M 是内部模型（M 和 M* 具有相同的序数，并且 M 包含在内）
单位：M*
).
通过这种方式，我们可以生成高度最大值和宽度最大值的形式
ctm如下。
如果 M 是高度最大，那么 M 的属性也具有某些排名初始
M 的片段。这是反射的典型表述。（但是我们会看到
高度最大值比反射更强。）当然具体实现
高度最大值必须指定要考虑哪些属性。
如果 M 是宽度最大，那么 M 的加厚属性也适用于一些
M 的内部模型。对于一阶属性，这称为内部模型
假设，或IMH（在[12]中介绍）。
上述关于 ctm 最大值的讨论虽然简短，但足以满足
制定惠普战略。
现在我们回到 V 的极大值问题。以上讨论可以吗
对于 ctm 也适用于 V ？谈论延长和延长是否有意义？
V 的增厚是否像我们谈论 ctm 时那样？存在以下差异
对此的看法，我接下来会讨论。
超宇宙计划
4.3 现实主义与潜力主义
回想一下，在 IC 中，我们通过迭代过程描述 V，即集合的宇宙
powerset 操作。这个过程是否结束，或者是无限期的，
总是可以进一步扩展到更长的迭代？前一种可能性，即有
是迭代过程的“限制”被称为高度现实主义，后者
这种观点称为高度势能论。类似地，还有一个确定性问题
幂集运算：对于给定的集合，其幂集是确定的还是总是
可以通过添加更多子集来进一步扩展它吗？前者称为宽度
现实主义和后者的宽度势能主义。
关于这个主题有大量文献 ([4, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 29, 31, 32])。
但由于超宇宙计划在本体的选择上非常灵活，
我们不会在这里对现实主义/潜力主义辩论进行冗长的讨论，
但仅提及支持泽尔梅利安观点的一些观点，将高度潜力论与宽度现实主义相结合，我们选择采用这种观点进行分析
通过 HP 实现最大化。
我们可以将情况总结如下。毫无困难，高度势能论有助于对高度最大值的分析。令人惊讶的是，我们将证明
即使具有宽度现实主义，它也有助于使用 V 逻辑方法对宽度最大值进行分析。身高潜力论的另一个好处是我们可以
将 V 最大值的研究减少为 ctm's6 最大值的研究
。我们的
论证还表明，高度现实主义对于我们对宽度最大值的分析是可行的，只要它通过足够强大的 MK 片段得到增强（莫尔斯-凯利
阶级理论；只需要 Σ1
1
理解）。因此，HP 唯一有问题的本体论是仅由弱阶级理论支持的高度现实主义；否则
本体的选择对于 HP 来说并不重要（尽管该程序开发
宽度潜能论与宽度现实主义略有不同）7
.
我现在将提出杰弗里·赫尔曼 (Geoffrey Hellman) 的一些论点（[33]
8
）赞成
6 ctm 的集合称为超宇宙；因此我们得出了超宇宙计划。
7 仅使用 GB（哥德尔-伯内斯）的高度现实主义似乎不足以对
最大化。一位裁判向我们介绍了不可知论柏拉图主义，该观点认为所有集合都存在一个明确确定的宇宙 V，但没有对 ZFC 是否成立持立场。但
由于这种观点允许仅用 GB 实现高度现实主义的可能性，因此对于
惠普。
8这些评论是在众多集合论学家和学者之间活跃的电子邮件交流中做出的。
从 2014 年 8 月到 11 月，我对集合论哲学家的研究，是由我对 Sol Feferman 的预印本《连续统假设》既不是一个确定的数学问题，也不是一个确定的数学问题的回应所引发。
逻辑问题。部分讨论记录在 <http://logic.harvard.edu/blog/?cat=2> 中，
但遗憾的是赫尔曼的评论没有出现在那里。
弗里德曼
高度势能主义和宽度现实主义，泽尔梅利安的观点。赫尔曼 说：
“任何集合的宇宙都可以适当扩展的想法（在高度上，而不是在
width）是非常自然的，得到了许多数学家的认可（例如MacLane，
似乎是哥德尔等人提出的。al.) ...正如麦迪和其他人所说，如果有可能的话
超出某个（假定最大）水平的集合存在，那么它们确实存在......因此，
如果 V 的“可想象”（最终）扩展不是不连贯的，那么它们是可能的，
然后，根据现实主义者、柏拉图主义者的解读，它们是真实的，而 V 并不是真的
毕竟是最大的。...这样的扩展总是可能的，因此 a 的概念
单一固定的、绝对最大的集合宇宙 V 实际上是一个不连贯的概念。”
然后再次：
“我不知道‘尽可能高’意味着什么，因为
绝对不能在逻辑上扩展的集合域的概念似乎
我语无伦次（或者至少是空洞的）。正如普特南在他有争议的论文中所说的那样，
“没有基础的数学”（1967），“即使上帝也无法创造一个宇宙”
策梅洛提出了不可能扩展的理论。我同意，神学
在旁边。”
关于宽度势能论，赫尔曼说（[33]）：
“我想，我有一个关于‘尽可能厚’的好主意，因为
给定集合的完整幂集对我来说非常有意义......授予强制
扩展可以被视为累积层次结构的“加厚”，通常如此
描述过，当我们断言标准幂集公理时，我们隐式地构建了
二价，即 x 属于 y 或不属于 y，即我们实际上在裁决
强制扩展或布尔值概括为非标准[我的斜体]，
即‘全功率组’只能以标准方式来理解。”
并进一步：
“因此，按照我的思维方式，‘所有
序数' ...和'给定集合的所有子集'。后者“已经相对化了”；那里
“子集”的概念中没有隐含任何允许无限扩展的内容，所以
只要我们谈论“固定的给定集合的子集”......相反，“所有序数”
呼唤相对化（我在 Zermelo 的 [1930] 中发现了这一点）；没有它，它确实
通过我们用来描述的操作来允许无限的可扩展性
序数词”
超宇宙计划
我确实很欣赏赫尔曼的观点，并且确实会（在很大程度上）采纳
本文采用泽尔梅利安的观点，即高度势能主义与宽度现实主义。
支持这一观点的另一个要点是，尽管我们有一个明确且
通过迭代过程生成序数的连贯方式，有
目前没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集9
.
鉴于对高度势能论的采用，我现在将使用符号 V
含糊其辞，不是表示所有集合的固定宇宙（它不存在），而是
作为一个变量，范围涵盖泽尔梅尔多重宇宙中的宇宙，其中每个
宇宙是下一个等级的初始部分。
尽管我采用了泽尔梅利安的观点，但出于说明的目的，我也将
考虑一种在高度和宽度上的潜在主义形式，我将其称为激进潜在主义。HP 可以用任一观点来运行。虽然它是
激进势能论更简单，有一些有趣的问题（数学
和哲学），当采用泽尔梅利安观点时出现，这是值得的
探索。
为了描述激进的势能论，让我从不那么激进的东西开始，宽度
潜在主义。首先作为动机，考虑柏拉图主义的观点，因此 V 是固定的
所有集合的全域，并考虑强制生成泛型集合的方法。如果
M 是一个 ctm，我们可以使用可数性轻松构建 M 的通用扩展 M[G]
但当然 V 的通用扩展 V [G] 不存在，因为我们的“真正的 V ”有
所有的集合。尽管如此，我们可以在 V 中明确地讨论在这样的情况下什么是真实的
一个通用扩展，实际上在 V 中没有这样的扩展，通过构造
布尔宇宙 V
V 内的 B 并在 V 的一般扩展中取真
V 中非零布尔真值的平均值
B. 因此柏拉图主义的观点实际上是
二元论：它允许理解宇宙中的真理（通用
扩展）而不允许这些宇宙实际存在。
宽度势能论是一种观点，在这种观点中，任何宇宙都可以变厚，同时保持
相同的序数，甚至达到使序数可数的程度。因此例如
它允许 V 的通用扩展的存在（现在是一个变量范围
在所有可能的宇宙的多重宇宙上），这是柏拉图主义者所禁止的。
因此，对于 V 的任何序数 α，我们可以将 V 粗化为 α 可数的全域；
即任何序数都是潜在可数的。但这并不意味着每个序数
V 在 V 中是可数的，只有在更大的宇宙中才可数。所以这个潜力
可数性不会威胁 V 中幂集公理的真实性。
9但我不能 100% 确定不可能存在这样一个类似的迭代过程，也许
由非常成功的大基数内部模型理论提供。
弗里德曼
现在，激进势能论实际上是宽度势能论和高度势能论的统一。它意味着任何 V（在可能宇宙的多重宇宙中）看起来都是可数的
在更大的宇宙中：我们允许V同时变长和变厚。
请注意，即使只是宽度势论（允许宇宙变厚）也会迫使
我们也陷入了高度势能主义：如果我们继续加厚以使每个序数
V 可数，然后在 Ord(V ) 步骤之后，我们也被迫延长以达到
满足幂集公理的宇宙。在那个宇宙中，原来的V看起来
可数的。但是我们可以对这个新宇宙重复这个过程，直到它也
被认为是可数的。身高潜力论的方面是我们无法结束这一切
通过将我们所有的宇宙结合起来进行处理，因为这不是一个模型
ZFC（幂集公理将失败），因此必须延长。笔记
再次强调，V 的潜在可数性不会威胁到
V 中 ZFC 的公理。
4.4 高度和代数的最大值
最大高度分析是 HP 的第一个重大成功。该程序产生了表达 V 高度最大值的稳健原理
它似乎涵盖了所有先前的高度最大值原则，包括反射，并构成了 V 的高度最大值的确定表达式
数学术语。
对于我们对高度最大化的讨论，高度潜力论就足够了（激进的
不需要潜在论）。因此我们可以选择将 V 延长至
宇宙V
＊ 以 V 作为初始段。当然我们也可以考虑
V 的缩写，用它自己的排名初始段之一替换 V 。现在就让我们
利用延长和缩短来制定高度最大化原则
对于 V ，表达序数序列尽可能长的想法。
但在开始分析最大高度之前，我们应该注意
以下各项： 没有一阶语句 phi 足以完全捕获高度
最大化。这只是因为 V 中的一阶语句 true 将反映
到它的排名初始段之一，然后我们自然地从 phi 引导到
更强的一阶陈述“ψ 在 V 和某些传递集合模型中都成立
ZFC”。我们还将看到没有一阶语句足以捕获宽度
最大化。这是引言中超越一阶主张的一个实例：
与 V = L 相矛盾的真正的一阶陈述仅作为 true 的结果出现
非一阶公理。
但是我们如何用非一阶公理捕获高度最大值呢？我们的确是
超宇宙计划
这是通过对 V 与其延长之间的关系进行详细分析得出的
起酥油。
标准 Lévy 反射告诉我们，V 的单个一阶性质
参数将保存在包含这些参数的某些 Vκ 中。这是很自然的
将其强化为同时反映 V 的所有一阶属性
一些 Vκ，允许来自 Vκ 的任意参数。因此我们将 V 反射为 Vκ
这是 V 的基本子模型。
重复这个过程会导致我们得到一个不断增加的、连续的序数序列
（太太
| i < ∞)，其中 ∞ 表示 V 的序数高度，使得模型 (Vκi
|
i < ∞) 形成 V 的基本子模型的连续链 Vκ0 ≺ Vκ1 ≺ · · ·
其并集是 V 的全部。
设 C 为由 κi 组成的真类
的。我们可以应用反射
V 和 C 作为附加谓词来推断 (V, C) 的属性也成立
一些（Vκ，C∩κ）。但 C 的无界性是 (V, C) 的属性，所以我们得到
some (Vκ, C ∩ κ) 其中 C ∩ κ 在 κ 中无界，因此 κ 属于 C。
推论，V 的属性实际上在某些 Vκ 中成立，其中 κ 属于 C。
方便地用其反证形式来表达这一点：如果一个属性对于 Vκ 成立
所有 κ 在 C 中，那么它也对 V 成立。
现在请注意，对于 C 中的所有 κ，Vκ 可以延长为基本扩展
（即 V ），它是排名初始的段。由反证形式
反思前一段，V本身也有这样的加长V
∗
.
但这显然还不是故事的结局。出于同样的原因我们也可以
推断存在这种延长的连续递增序列 V = Vκ∞ ≺
在
∗
κ∞+1 ≺ V
∗
κ∞+2 ≺ · · · 序数的长度。为了方便表示，我们把
∗
并写成 Wκi
而不是V
∗
太太
对于 ∞ < i 而不是 Vκi
对于 i ≤ ∞。因此V
等于W∞。
但V的延长是哪一塔V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···
我们应该考虑吗？我们能否使这座塔的选择成为规范？
考虑整个序列 Wκ0 ≺ Wκ1 ≺ · · · ≺ V = Wκ∞ ≺ Wκ∞+1 ≺
Wκ∞+2 ≺···。直觉是所有这些模型在以下方面都相似
他们共享相同的一阶属性的感觉。确实凭借
事实上，它们形成了一个基本链，这些模型都满足相同的一阶句子。但同样本着“相似”的精神，以下几点应该成立：
弗里德曼
对于 i0 < i1 考虑 (Wκi1
,Wki0
）作为结构（Wκi1
,ε) 与 Wκi0 一起
作为一个
一元谓词。那么情况应该是任意两个这样的对 (Wκi1
,Wki0
),
(Wkj1
,Wkj0
) （其中 i0 < i1 且 j0 < j1）满足相同的一阶句子，甚至
允许同时属于 Wκi0 的参数
和Wκj0
。将此概括为
三元组、四元组和 n 元组通常会出现以下情况：
(*) V 出现在连续的基本链中 Wκ0 ≺ Wκ1 ≺ · · · ≺ V = Wκ∞ ≺
Wκ∞+1 ≺ Wκ∞+2 ≺ ··· 长度为 ∞ + ∞，其中模型 Wκi
形成一个强烈不可辨别的链，对于任何 n 和任何两个递增的 n 元组
~i = i0 < i1 < · · · < in−1, ~j = j0 < j1 < · · · < jn−1, 结构 W~i =
(Wκin−1
, Wκin−2
,···,Wki0
) 和 W~j
（类似地定义）满足相同的一阶
句子，允许来自 Wκi0 的参数
∩Wκj0
.
我们越来越接近#一代的理想公理。我们当然可以强加
我们的模型链上的高阶不可辨别性。例如，考虑一对
型号 Wκ0 = Vκ0
, Wκ1 = Vκ1
。我们可以要求这些模型满足相同的条件
二阶句子；等价地，我们要求 H(κ
+
0
)
V 和 H(κ
+
1
)
在
满足
相同的一阶句子。但与 H(κ0) 对一样
在
,H(k1)
我们会
想要 H(κ
+
0
)
在
,H(先生
+
1
)
在
满足带有参数的相同一阶句子。
我们该如何表述呢？例如，考虑 κ0，H(κ
+
0
)
在
这是关于 H(κ0) 的二阶
在
; 我们不能简单地要求 H(κ
+
0
)
在
ψ(k0) 当且仅当 H(k
+
1
)
V phi(κ0)，因为 κ0 是 H(κ) 中最大的基数。
+
0
)
V但不在
H(先生
+
1
)
在
。相反，我们需要将左侧出现的 κ0 替换为
右侧的“相应”参数，即 κ1，导致自然
要求 H(κ
+
0
)
V Φ(κ0) 当且仅当 H(κ
+
1
)
V Φ(κ1)。更一般地说，我们应该能够
替换 H(κ
+
0
)
V 由 H(κ 的“相应”元素
+
1
)
在
。它
使用嵌入来解决这个参数问题是很自然的。
定义1。（参见[10]）
结构 N = (N, U) 称为具有临界点 κ 的 #，或者仅称为 #，如果
以下保留：
(a) N 是 ZFC−（ZFC 减去幂集）的模型，其中 κ 都是最大的
基本且难以接近。
(b) (N, U) 是可行的（即 x ∩ U ε N 对于任何 x ε N）。
(c) U 是 (N, U) 中 κ 的正常测量值。
(d) N 是可迭代的，即所有以 (N, U) 开头的连续迭代超幂
有充分根据，产生迭代（Ni
, Ui) 和 Σ1 基本迭代映射 πij ：
Ni → Nj 其中 (N, U) = (N0, U0)。
我们让 κi 表示第 i 次迭代 Ni 的最大基数
.
超宇宙计划
如果 N 是 # 并且 λ 是极限序数，则 LP(Nλ) 表示 (Vκi
)
在
的
对于 i < λ。（LP代表下部分。）LP(N∞)是ZFC的模型。
定义2.我们说ZFC的传递模型V是#生成的当且仅当有
N = (N, U)，a # 迭代 N = N0 → N1 → · · · ，使得 V 等于 LP(N∞)
其中 ∞ 表示 V 的序数高度。
#- Generation 满足了我们对垂直最大化的要求，并对反思产生了强大的影响。L是#生成的iff 0#存在，所以这个原理是兼容的
其中 V = L。如果 V 是通过 (N, U) # 生成的，则存在基本嵌入
从 V 到 V 可以通过 (N, U) 迭代进行规范定义：
上面的符号，来自 κi 的任何保序映射
到 κi
的延伸到这样的
一个基本的嵌入。如果 π : V → V 是任何这样的嵌入，那么我们不会得到
只有结构 H(κ
+
我
)，对于所有 i 以及结构
H(先生
+a
我
) 对于任何 α < κ0 及以上。此外，#一代显然提供了
最大垂直反射量：如果 V 由 (N, U) 生成为 LP(N∞)
其中 ∞ 是 V 的序数高度，x 是进一步迭代中的任何参数
在
(N, U) 的 ∗ = N∞*，则任意一阶性质 ψ(V, x) 在 V 中成立
∗
反映
至 ψ(Vκi
对于所有足够大的 i < j < ∞，Nj 中的 , x ̅ ) ，其中 πj, ∞ ̅ ̅ ̅ ) = x。这意味着任何已知形式的垂直反射并总结了反射量
假设0#存在，L中的反射量最大
L 中的这一点通过詹森 # 生成的编码定理（定理 9.1. 的
[6]）其中指出，如果 V 是 # 生成的，则 V 可以编码为 # 生成的
模型 L[x] 对于实数 x，其中生成 V 的给定 # 扩展到自然数
发电机 x
# 模型 L[x]。
由此我们可以得出结论，#生成的模型具有相同的大基数
和当 0# 存在时 L 的反射属性。
#- Generation 还回答了我们的问题，即在反射中查看 V 延长的哪个规范塔，即迭代的更下部部分
任何生成 V 的 # 。这座加长塔与选择无关
为 V 生成 #，因此完全规范。和#代完全
认识到 V 应该看起来与它的许多阶的无限闭合完全一样
初始片段及其任意序数高度的规范延长。
总之，#- Generation 脱颖而出，是高度最大化原则的正确形式化，我们将 #-生成的模型称为最大
在高度上。它不是一阶的（我们认为没有最佳高度最大值
弗里德曼
原理可以是），但是它是二阶的，但方式非常受限制：对于可数 V ，作为生成 V 的 # 的属性可以通过量化来表达
普遍适用于模型 Lα(V )，因为 α 范围涵盖可数序数。
4.5 宽度最大值和IMH
而在高度极大的情况下，我们可以使用高度势能论（即
将 V 延长到更高宇宙的选项）以达到最佳原则，
宽度最大的情况具有非常不同的性质。与身高不同
最大值，我们会看到宽度最大值有许多不同的标准
并且不会轻易得出最优标准。此外，为了获得一个公平的画面
高度和宽度都最大化，需要综合或统一宽度
具有 #- Generation 的最大值标准，最佳高度最大值标准。
彻底分析不同可能的宽度最大值标准及其
与 # 代的综合，旨在达到最佳标准，
是超宇宙计划的主要目标。
我将从激进势能论背景下讨论宽度极大性开始，因为这提供了比泽尔梅利安观点提供的理论更简单的理论。
因此，我们使用符号 V 作为变量，其范围不超过泽尔梅尔多元宇宙（其中宇宙按等级初始段的关系排序），但
超越激进势能主义提供的丰富多元宇宙的元素，其中每个元素
宇宙是潜在可数的。我们从基础开始：
内部模型假设（IMH，[12]）如果一个一阶句子在某些外部成立
V 的模型，那么它在 V 的某个内部模型中成立。
对于当前的演示，我们可以将外部模型表示为传递集
在
∗
包含 V ，与 V 具有相同的序数，满足 ZFC。内部模型
本演示中是 V 的 V 可定义子类，其序数与 V 相同，其中
满足ZFC。根据激进势能论，ZFC 的任何传递模型都是可数的
一个更大的这样的模型，从中我们可以推断出存在丰富的集合
V 的外部模型。
#代的一致性源自0#的存在。但是IMH的一致性，即存在满足IMH的宇宙V的断言，
需要更多。
IMH 的一致性
超宇宙计划
定理 3. ([18]) 假设大基数存在可数传递性
ZFC 的模型 M，使得如果一阶句子 phi 在以下模型的外模型 N 中成立
那么 M 的内部模型也成立。
证明。对于任何实数 R，让 M(R) 表示 ZFC 的最小传递模型，其中包含
R. 我们假设有大基数，所以确实存在这样的 M(R)（存在
仅仅一个不可访问的就足够了）。我们需要以下结果
大红衣主教：
(*) 存在一个实数 R，对于任何实数 S，其中 R 是递归的，（一阶）
M(R)的理论与M(S)的理论相同。
我们可以从大基数导出 (*)，如下所示。大基数产生投射决定性（PD）。马丁定理是 PD 蕴涵以下 Cone
定理：如果 X 是在图灵等价下封闭的实数射影集，那么对于
某个实数 R，对于所有实数 S（其中 R 是递归的），或者 S 属于 X，或者 S 属于
对于所有实数 S（其中 R 是递归的）X 的补集。
现在对于每个句子 phi 考虑由那些实数 R 组成的集合 X(phi)
M(R) 满足 phi。该集合是射影的并且在图灵等价下是封闭的。
根据圆锥定理，我们可以选择一个实数 R(ψ)，使得 ψ 在 M(S) 中为真
所有实数 S，其中 R(phi) 是递归的，或者这对于 ∼ phi 成立。现在让 R 为任意实数
其中每个 R(phi) 都是递归的；因为只有可数个 phi，这是可能的。
然后R见证了属性(*)。
我们声称如果 N 是 M(R) 满足 ZFC 的外模型并且 是一个句子
在 N 中为真，则 phi 在 M(R) 的内部模型中为真。为此，我们需要以下内容
詹森深度定理。
编码定理（参见[6]）令 α 为 N 的序数高度。则 N 有一个外层
对于某些实数 S，其形式为 Lα[S] 的模型满足 ZFC，其中 N 为
Δ2-可通过参数定义。
由于 R 属于 M(R)，因此它也属于 N，因此也属于 Lα[S]，其中 S 将 N 编码为
多于。另请注意，由于 α 最小，因此 M(R) = Lα[R] 模型 ZFC，因此它也是
至少使得 Lα[S] 满足 ZFC，因此 Lα[S] 等于 M(S)。
显然，我们可以选择 S 成为 R 之上的图灵（只需将 S 替换为与
R）。但现在根据 R 的特殊性质，M(R) 和 M(S) 的理论是
相同的。由于 N 是 M(S) 的可定义内模型，因此 M(S) 的部分理论是
弗里德曼
陈述“有一个 Φ 的内部模型，它可以用参数 Δ2 定义”
因此，根据需要，存在满足 phi 的 M(R) 内部模型。✷
请注意，我们上面为 IMH、M(R) 生成的模型对于某些实际情况
R 是包含真实 R 的最小模型，因此满足“不存在
难以接近的红衣主教”。这并非偶然：
定理4。 [12]假设M满足IMH。那么M中：没有
不可访问的基数，事实上存在一个实数 R，使得不存在传递性
包含 R 的 ZFC 模型。
证明。Beller 和 David 的定理（也在 [6] 中）扩展了 Jensen 的编码定理
说任何模型 M 对于某个实数 R 都有一个形式为 M(R) 的外部模型，
其中如上 M(R) 是包含 R 的 ZFC 的最小传递模型。现在
假设 M 满足 IMH 并考虑句子“不存在不可访问的
红衣主教”。这在 M 的外部模型 M(R) 中是正确的，因此在内部模型中也是如此
M 的。由此可见，M 中不存在不可访问的地方。与
句子“存在一个真实的 R，使得不存在包含 ZFC 的传递模型
R”给出了 M 的内部模型 M0，对于某些实数 R 具有此属性；但随后也
M 具有此属性，因为 M 中包含 R 的任何 ZFC 传递模型也会
在 M 的 L[R] 中给出这样的模型，因此在 M0 中给出这样的模型，因为 M0 包含 L[R]
M.✷
由此可见，如果 M 满足 IMH，则 M 中的某些实数没有 #，因此粗体 Π1
1 确定性在 M 中失败（尽管 0# 确实存在且 lightface Π1
1
确定性确实成立）。
宽度现实主义
到目前为止，我已经在激进势能论的背景下提出了 IMH，
使我们能够自由地讨论宇宙 V 的外部模型（增厚）。这是
当然，对于宽度现实主义者来说这是不可接受的，他们认为 Vα 具有固定的含义
每个序数 α （尽管可能是一个不固定的、潜在的关于序数的观点
是）。尽管如此，是否有可能谈论 V 的宽度最大值
宽度现实主义者的观点（其中V现在是一个范围在Zermelian
多元宇宙）？我们能否表达 V 尽可能厚的想法，而不需要实际
将 V 与更厚的宇宙（不存在）进行比较？
通过对 V 逻辑的研究，得出了对后一个问题的肯定答案，
接下来我将介绍这一点。Barwise 的书 [5] 是该材料的有用参考。
超宇宙计划
V逻辑
让我们从更简单的 Vω 逻辑开始。在 Vω 逻辑中，我们有用于 a ∈ Vω 的常量符号 ́a 以及常量符号 V̊
ω 对于 Vω 本身（除了 ε 和
一阶逻辑的其他符号）。然后是通常的逻辑公理和规则
在 Modus Ponens 中，我们添加了规则：
对于 a ε Vω： 从 phi(
¯b) 对于每个 b ∈ a 推断 ∀x ∈ aphi¯ (x)。
从 phi(¯a) 对于每个 a ∈ Vω 推断 ∀x ∈ V¯
ω φ(x)。
引入第二条规则会通过证明生成新的可证明陈述
现在是无限的。Vω-logic 的思想是捕捉模型的思想，其中
Vω 为标准。根据 ω-完备性定理，逻辑上可证明的句子
Vω 逻辑正是在每个模型中都成立的逻辑，其中 ¯a 被解释为
a 对于 a ∈ Vω 和 V ́
ω 被解释为（实数，标准）Vω。因此理论T在
Vω-logic 与 Vω-logic 是一致的，当且仅当它有一个模型，其中 Vω 是真实的、标准的
Vω。
现在，Vω-逻辑中逻辑上可证明的公式（即有效性）的集合，与
在一阶逻辑中，不是算术的，即它不能在模型 Vω 上定义。
相反，它可以在更大的结构（Vω 的延长）上定义。让我解释。
由于 Vω 逻辑中的证明不再是有限的，因此它们自然不属于 Vω。
相反，它们属于最小允许集 (Vω)
+ 包含 Vω 作为元素，
这被高级递归理论家称为 Lω
CK
1
，其中 ω
CK
1
是最小非递归序数。一些非常好的事情发生了：而一阶逻辑的证明
属于 Vω，因此可证明性是 Σ1 在 Vω 上可定义（存在一个证明
是 Σ1)，Vω-逻辑中的证明属于 (Vω)
+ 且可证明性是 Σ1 可在 (Vω) 上定义
+.
就我们目前的目的而言，要点是 (Vω)
+是加长，不是加厚
Vω 的长度，在这种延长中，我们可以制定描述任意的理论
以 Vω 为标准的模型。例如，存在一个实数 R，使得
(Vω, R) 满足一阶性质，可以表示为
Vω-逻辑中的理论。由于结构(Vω,R)可以看作是“增厚”
对于 Vω，我们已经通过以下理论描述了 Vω“增厚”时可能发生的情况
(Vω)
+，Vω 的延长。如果我们不是从 Vω 开始而是从 Vω 开始，这会更加戏剧化
与 (Vω)
+ = 错误
CK
1
并引入Lω
CK
1
-logic，确保递归的逻辑
序数词是标准的。然后在延长(Lω
CK
1
)
Lω的+
CK
1
, 最少允许的
包含 Lω 的集合
CK
1
作为一个元素，我们可以表达增厚的存在
弗里德曼
错误
CK
1
其中一阶陈述成立，并且这种加厚可以包含新的
实数和更多元素。
V-logic 与上面类似。它有以下常量符号：
1. V 中每个集合 a 的常数符号 ¯a 。
2. 一个常数符号V¯ 来表示宇宙V 。
公式以通常的方式形成，就像任何一阶逻辑一样。到平常的
一阶逻辑的公理和规则我们添加新规则：
(*) 由 ψ(
́b) 对于所有 b ∈ a 推断 ∀x ∈ á́ (x)。
(**) 从所有 a ∈ V 的 phi(¯a) 推断 ∀x ∈ V phi¯ (x)。
这是描述以 V 为标准的模型的逻辑。这个逻辑的证明
出现在V
+，包含 V 作为元素的最小允许集合；这个结构V
+
是 Lα(V ) 形式的 V 的特殊延长，即哥德尔 L 层次结构的第 α 层
建立在 V 之上。我们将这种延长称为哥德尔延长。回想一下，与
我们的身高潜力论观点，我们可以将 V 延长为模型 V
＊ 以 V 为
等级初始段，因此肯定将 V 延长到哥德尔延长 V
+.
（从高度现实主义者的角度来看也是如此，只要我们允许我们
满足 MK (Morse-Kelley) 的类，就像在 MK 中我们可以构造一个类编码
在
+.)
宽度现实主义者的内部模型假设
作为宽度现实主义者，我们不能直接谈论外部模型，甚至不能直接谈论集合
不属于 V 。然而，使用 V 逻辑我们可以间接地讨论它们，
正如我现在将说明的那样。考虑 V 逻辑中的理论，其中我们不仅有常数
符号 ¯a 表示 V 的元素，常量符号 V´ 表示 V 本身，但也可以是
常数符号 W 表示 V 的“外部模型”。我们添加新的公理：
1.宇宙是ZFC（或者至少是较弱的KP，可接受性理论）的模型。
2. W´是ZFC的传递模型，包含V´作为子集并且具有相同的
序数词为 V 。
所以现在当我们采用遵循 V 逻辑规则的公理模型时，我们得到
宇宙建模 ZFC（或至少 KP），其中 V 被正确解释为 V
W 被解释为 V 的外部模型。请注意，V 逻辑中的这个理论有
超宇宙计划
没有“加厚” V 的情况下被制定，实际上它是在 V 内部定义的
+，最少
包含 V 的容许集合，V 的哥德尔延长。后者再次有道理
感谢我们采用高度（而不是宽度）势能论。
那么对于宽度现实主义者来说，IMH 到底说了什么？它说如下：
IMH：假设 phi 是一阶句子，并且上述理论，一起
公理“W 满足 phi”在 V 逻辑中是一致的。那么 phi 的内模型成立
在 。
换句话说，不是直接谈论V的“加厚”（即“外层”）
模型”）我们反而谈论用 V 逻辑表述的理论的一致性
并在 V 中定义
+，V 的（温和）哥德尔延长。
请注意，这也提供了可定义性引理的强大扩展
用于强制设置。后者说，在 V 中我们可以明确地表达这样一个事实：
带参数的句子保存在“集合通用扩展”中（对于有界的句子
复杂性，例如固定 n 的 Σn 句子）。上图表明我们可以做到
对于 V 的任意“加厚”也是如此，但是可定义性发生在哪里
不是在V而是在V
+。（在全知宇宙 V 的情况下，我们实际上可以获得
V 的可定义性，并且在温和的大基数假设下，V 将是无所不知的。
对此的讨论请参见第 4.11 小节。）
到目前为止，我们已经研究了 V 、它的延长和“加厚”（通过理论）
以其延长表示）。接下来我们进行重要的一步，那就是减少
这个讨论是为了研究可数传递模型的某些属性
ZFC，即超宇宙（ZFC的可数传递模型的集合）。
这种减少的净效应是表明我们的宽度现实主义讨论
极大性实际上相当于一种激进的势能论讨论，其中所有
正在考虑的模型属于超宇宙。
4.6 超宇宙的还原
当然，去掉“thickenings”中的引号会舒服得多
V 的，因为我们可以省去重新表述我们的直觉的需要
通过 V 逻辑理论的外部模型。确实，如果我们要进行这样的讨论
不是关于 V 而是关于可数传递 ZFC 模型 Little-V ，那么我们的担忧
蒸发，因为真正的增稠剂变得可用。例如，如果 P 是一个强迫
如果我们知道little-V中的概念，那么我们肯定可以构建一个P-通用扩展来获得little-V [G]。
弗里德曼
当然，我们不能对 V 本身执行此操作，因为通常我们无法构造泛型集
对于具有无数个最大反链的偏序。
但是我们用 V 逻辑分析事物的方式使我们能够减少对
可数传递模型研究中 V 的极大标准。作为收藏
可数传递模型的名称为“超宇宙”，然后我们就会得到
所谓的超宇宙计划。
我将用具体的例子来说明超宇宙的简化
IMH。假设我们使用 V 逻辑制定如上所述的 IMH，并且想要
知道它会产生什么一阶后果。
引理 5. 假设一阶句子 ψ 在所有可数模型中成立
IMH。然后它适用于 IMH 的所有型号。
证明。假设 phi 在 IMH 的某个模型 V 中失败，其中 V 可能是不可数的。现在请注意，IMH 可以用 V 一阶表示
+，V 的延长。
但然后应用向下的 Löwenheim-Skolem 定理来获得可数
满足 IMH 的 Little-V，已在其相关的 Little-V 中验证
+，但未能
满足 ψ。但这是一个矛盾，因为根据假设 ψ 必须在所有可数中成立
IMH 的模型。✷
因此，在不失一般性的情况下，当考虑 V 逻辑中表述的最大值标准的一阶结果时，我们可以将自己限制为可数的小 V 。这样做的好处是我们可以省去小V逻辑和
完全引用“加厚”，如小 V 的完备性定理 -
逻辑，小V逻辑中的一致理论确实有模型，这要归功于可数性
小V的。因此，对于可数的小V，我们可以简单地说：
IMH for little-V 's：假设一阶句子在以下模型中成立：
小V。然后它保存在 Little-V 的内部模型中。
这正是我们开始时的 IMH 的激进势能主义版本。
因此，IMH 的宽度现实主义和激进势能主义版本是一致的
可数模型。
#-一代人重温
然而，将极大性原则简化为超宇宙并不是
总是如此明显，正如我们现在将在#- Generation 的情况中看到的那样。这揭示了
超宇宙计划
HP 发展的差异形成了 Zemelian 观点与
激进的潜在主义观点。
首先考虑以下令人鼓舞的类比，适用于我们早期的#一代
IMH 减免申请。
引理 6. 假设一阶句子 ψ 在所有可数模型中成立，
是 # 生成的。然后它适用于 # 生成的所有模型。
证明。假设 phi 在某些 # 生成的模型 V 中失败，其中 V 可能是不可数的。设 (N, U) 为 V 的生成#，并将 V 和 (N, U) 放入其中
ZFC 减去幂集 T 的一些传递模型。现在将 Löwenhiem-Skolem 应用于
T 产生一个可数传递性 T ，其中有一个 V ， T 认为是
由 (N, ´ U´ ) 生成，将 T´ 基本嵌入到 T 中，将 V´ 发送到 V 并
(N, U) 到 (N, U)。但事实是 (N, U) 是可迭代的并且 (N, ´ U´) 被嵌入到
(N, U) 足以得出结论： (N, ´ U´ ) 也是可迭代的。所以我们现在有一个可数的 V ，它是 # 生成的（通过 (N, ¯ U )），其中 phi 失败，这与假设相反。
✷
然而困难在于：我们如何从宽度表达#- Generation
现实主义的观点？回想一下，要为 V 生成生成#，我们必须
产生一组小于 Ord(V ) 且不属于 V 的秩，违反了
宽度现实主义。
回想一下，# 是满足某些一阶条件的结构 (N, U)
另外，它是可迭代的：对于任何序数 α，如果我们迭代 (N，U) α 步，则
它仍然是有充分根据的。如果有 # 生成 V，则 V 是 # 生成的。但
请注意，为了表达 V 的生成 # 的可迭代性，我们必须考虑
理论 Tα 在 Lα(V ) 逻辑中表述，用于 V 的任意哥德尔延长 Lα(V ) ：
Tα 断言 V 是由 pre-# 生成的（即由看起来像 # 的结构生成）
但可能不是完全可迭代的），它是α-可迭代的，即可迭代α-步。因此
我们没有固定的理论来捕捉#一代人，而只有一座理论塔
Tα （当 α 的范围超过 V 的高度的序数时），捕获越来越近
对其的近似值。
定义 7. 如果对于每个超过 V 高度的序数 α，V 是弱 # 生成的，
理论 Tα 表达了 α-iterable pre-# 的存在，它生成
V 是一致的。
弱 # 代对于宽度现实主义者来说是有意义的（他们接受足够的
获得哥德尔延长的高度势能论），因为它完全用术语表达
V 的哥德尔延长的内部理论。
弗里德曼
对于可数的小V，弱#代可以在语义上表达。第一的
一个有用的定义：
定义8.设little-V为ZFC的可数传递模型，α为序数。
如果存在一个生成little-V的α-iterable pre-#，则little-V是α生成的
（作为其第一个 γ 迭代的下部部分的并集，其中 γ 是序数高度
小V）。
然后，如果每个小V都是α生成的，那么它就是弱#生成的
可数序数 α（对此的见证可能取决于 α）。小V是#-
生成 iff 当 α = ω1 时它是 α 生成的 iff 它对于所有序数都是 α 生成的
A。
正如 #- 的宽度现实主义公式需要句法方法一样
代，将这种弱化形式的#-代还原为超宇宙采用语法形式：
引理 9. 假设一阶句子 phi 在所有可数小 V 中成立
这是弱 # 生成的，这在 ZFC 中得到了证明。那么 ψ 在所有的情况下都成立
弱 # 生成的模型。
证明。令 W 为弱#生成模型（可能是不可数）。因此
对于 W 高度以上的每个序数 α，理论 Tα+ ∼ phi 表示 phi
W 中的失败与 W 是由 α-iterable pre-# 生成的一致。如果我们选择 α 那么
Lα(W) 是 ZFC 的模型（或者足够的 ZFC，其中 phi 的真值可数为
# 生成的模型可证明）那么 Lα(W) 是（足够的）ZFC 的模型，其中
W 是弱 # 生成的。应用 Löwenheim-Skolem 获得可数的 W 和
ά使得 Lα̂(Ŵ) 基本嵌入到 Lα(W) 中，因此满足（足够
of) ZFC 加上“W 是弱 # 生成的”。现在让 g 对于 Lα ̅(W ̅ ) 是泛型的
W¯（的高度）到 ω 的 Lévy 塌缩；那么 Lα ̅(W ̅ )[g] 是一个模型（足够
of) ZFC，其中 W 是可数的并且是弱 # 生成的。通过假设
Lά(W)[g] 满足“Ŵ满足 ́”，因此 W 确实满足 ́。最后，
根据需要，W 也满足 phi。✷
总结一下：作为激进的潜在主义者，我们可以轻松地与完整的#-
一代作为我们的高度最大化原则。但作为宽度现实主义者，我们相反
使用弱 # 代，以 V 的哥德尔延长 Lα(V ) 内的理论表示。弱#代足以最大化宇宙的高度。正确表述后，超宇宙的还原适用于弱
#- Generation：推断一阶语句来自弱#- Generation
超宇宙计划
足以表明，在 ZFC 中，我们可以证明它在所有弱 # 生成的情况下都成立
可数模型。
对于可数而言，弱 #- Generation 确实严格弱于 #- Generation
models: 假设0#存在，选择α最小，使得α为第α个Silver
不可辨别（α 是可数的）。现在让 g 在 L 上泛型，Lévy 将 α 折叠为
ω。那么根据Lévy绝对性，Lα在L[g]中是弱#生成的，但不能
#-在 L[g] 中生成为 0# 不属于 L 的通用扩展。
在下文中，我将主要使用 # 代，因为目前对弱 # 代的数学了解还很少。事实上，正如我们将在下一篇中看到的
部分， # 代与 IMH 的综合是一致的，但这仍然是一个
弱#一代的开放问题。
4.7 综合
我们引入了 IMH 作为宽度最大值的标准，并引入了#- Generation 作为宽度最大值的标准。
高度最大值的标准。很自然地看到如何将这些组合成
承认两种形式的最大值的单一标准。我们在这方面实现了这一目标
综合部分。请注意，IMH 意味着不存在无法访问的情况
然而#- Generation 意味着存在。所以我们不能简单地取合取
这两个标准。
# 生成的模型 M 满足 IMH# 当且仅当句子在 a 中成立
# 生成的 M 的外部模型也包含在 M 的内部模型中。
请注意，IMH# 与 IMH 的不同之处在于要求 M 和 M*
,
外部模型是 # 生成的（而 IMH 中考虑的外部模型是
随意的）。此要求背后的动机是强制宽度最大化
仅针对那些高度最大的模型。
定理 10. [15] 假设每个实数都有一个 # 存在一个实数 R，使得任何
# 生成的包含 R 的模型满足 IMH#。
证明。(Woodin) 令 R 为具有以下性质的实数： 每当 X 为
lightface 和非空 Π1
2
实数集，则 X 在 R 中具有递归元素。我们
声称任何包含 R 作为元素的 # 生成的模型 M 都满足 IMH#。
假设 Φ 在 M* 中成立
，#生成的 M 外部模型。让 (m*
, U∗
）是一个
为 M* 生成 #
。然后实数 S 的集合 X 使得 S 编码这样一个 (m*
, U∗
)
（生成 phi 的模型）是光面 Π1
2
放。所以有这样一个真正的递归
弗里德曼
R 因而在 M 中。但是 M 有一个满足 phi 的内部模型，即任意
由 M 中 X 的元素编码的 # 生成的模型。 ✷
前一个定理的论证对于 IMH# 的最弱形式是特殊的。
来自[15]的原始论点，使用#生成的Jensen编码来证明更强原理SIMH#(ω1)的一致性；参见定理 15。
推论 11. 假设 phi 是一个句子，它在某些 Vκ 中成立，并且 κ 可测量。
那么就有一个传递模型，它同时满足IMH#和句子 phi。
证明。令 R 如定理 10 的证明中所示，并令 U 为 κ 的正规测度。
结构 N = (H(κ
+), U) 是#；通过足够大的序数 ∞ 迭代 N
使得由 N 生成的下部模型 M = LP(N∞) 的序数高度为 ∞。
然后 M 是 # 生成的并包含真实的 R。因此 M 是
IMH#。此外，由于 M 是基本链的并集 Vκ = V
氮
κ≺V
N1
κ1 ≺···
其中 phi 在 Vκ 中为真，因此 phi 在 M 中也为真。 ✷
请注意，在推论 11 中，如果我们将 ψ 视为任何大基数属性，
保持一些 Vκ 且 κ 可测量，然后我们获得 IMH# 模型，其中
也满足了这个大基数的属性。这意味着 IMH# 的兼容性
具有任意强的大基数性质。
问题 12. 使用弱 # 代重新表述 IMH#，如下所示： V 是弱的
#-生成并且对于每个句子 phi，如果表达 V 的理论有一个外部
满足 phi 且具有 α 可迭代生成 pre-# 的模型对于每个 α 都是一致的，
那么 phi 在 V 的内部模型中成立。这是一致的吗？
上述弱 # 代的 IMH# 公式采用以下形式
对于可数 V ：对于每个可数 α 和所有 phi，V 是 α 生成的，如果 phi 成立
在 V 的 α 生成的外部模型中，对于每个可数 α，则 phi 保持在内部
V 的模型。尚不清楚这是否一致。
评论。#- Generation 的更弱形式断言 V 只是 Ord(V ) +
Ord(V ) 生成的、足够数量的迭代以获得序数最大值。
然而，IMH 与这种非常弱的 # 代的合成产生了一致的结果
与大基数相矛盾的原则（实际上存在 # 表示任意
实数）。这些不同形式的 # 代及其与 IMH 的合成，
都需要进一步的哲学讨论。
我们现在已经为 HP 奠定了基础，并讨论了两个最基本的问题
极大性原则、#- Generation 和 IMH。大部分数学工作
超宇宙计划
惠普仍有待完成。因此我将在剩下的时间里做什么
文章只是提出了一系列尚未完全确定的最大值标准
分析并给出了惠普打算如何进行的风格。这些
标准也称为 H 公理，表述为元素的属性
超宇宙 H，可表示为 H 内的极大性属性。
4.8 强IMH
我们对 IMH 的讨论始终是关于没有参数的句子。如果我们引入参数，就会产生更强的形式。
首先注意将参数引入 IMH 的困难。例如
该声明
“如果一个带有参数 ω 的句子
在
1 在 V 的外模型中成立，那么它在
内模型”
不一致，因为参数 ω
在
1
在外部模型中可以变得可数并且
因此上述对于句子“ω
在
1
是可数的”。如果我们然而
要求 ω1 被保留，那么我们就得到了一致原理。
定理 13. 设 SIMH(ω1) 为以下原理： 如果一个带有参数的句子
ω1 在保留 ω1 的外部模型中成立，然后在内部模型中成立。然后
SIMH(ω1) 是一致的（假设基数很大）。
证明。再次使用 PD 得到实数 R，使得 M(S) 的理论，最小传递性
包含 S 的 ZFC 模型对于 R 之上的所有 S 图灵来说是固定的。现在假设 phi(ω1)
是 M(R) 的 ω1 保留外模型 N 中的句子为真，其中 ω1 表示
M(R) 的 ω1。那么就像IMH的一致性证明一样，我们可以将N编码为
M(S) 对于 R 之上的某个实 S 图灵，而且这种编码是 ω1 保留的。
由于 phi(ω1) 在 M(S) 的可定义内模型中成立，并且 ω1 在 M(R) 中是相同的，并且
M(S)，由此可知 M(R) 也有满足 phi(ω1) 的内模型。✷
上述论点利用了 Jensen 编码保留 ω1 的事实。这是
然而，除非 CH 成立，否则 ω2 不保持，因此我们有以下
开放式问题：
问题 14. 设 SIMH(ω1, ω2) 为以下原则：如果一个带有参数 ω1, ω2 的句子在 ω1 保留和 ω2 保留的外模型中成立，那么它成立
在内部模型中。那么SIMH(ω1, ω2)是否一致（假设基数很大）？
弗里德曼
SIMH(ω1, ω2) 意味着 CH 失败，因为任何模型都具有基数保留
外部模型，其中有从 ω2 到实数的注入。有类似的吗
M∗
不满足CH的最小模型M(R)的(R)？有编码吗
定理表明 M* 的任何外部模型
(R) 保留 ω1 和 ω2 有
M* 形式的进一步外部模型
(S)，也具有相同的 ω1 和 ω2？如果是这样，那么
我们可以建立 SIMH(ω1, ω2) 的一致性。
SIMH 最通用的形式使用绝对参数。如果某个公式在保留的所有外部模型中定义了参数 p，则该参数 p 是绝对的
基数达到并包括 p 的遗传基数，即
p 的传递闭包。那么绝对参数 p 的 SIMH(p) 表明如果
带有参数 p 的句子保存在保留基数向上的外部模型中
到 p 的遗传基数，则它在内部模型中成立。完整的 SIMH
（强内模型假设）指出这对于每个绝对参数都成立
p。
SIMH 与莱维绝对性的增强密切相关。例如，
将 Lévy(ω1) 定义为带有参数 ω1 的 Σ1 公式是绝对值的陈述
对于 ω1 保留的外部模型；这是从 SIMH(ω1) 得出的，因此是
持续的。但Lévy(ω1, ω2)的一致性，即Σ1与参数的绝对性
保留这些基数的外部模型的 ω1、ω2 是开放的。
SIMH#
具有 # 代的 SIMH 的综合可以表述如下： V
如果 V 是 # 生成的并且每当句子 phi 具有绝对值时，则满足 SIMH#
参数保存在 # 生成的外部模型中，其基数与 V up 相同
对于这些参数的遗传基数， phi 也适用于
五。一个特殊情况是 SIMH#(ω1)，其中唯一涉及的参数是 ω1，我们
只关心 ω1 保留的外部模型。
定理 15。 [15] 假设大基数，SIMH#(ω1) 是一致的。
证明。假设有一个伍丁红衣主教，上面有一个不可访问的。对于每个实数
R 令 M#(R) 为 Lα[R]，其中 α 最小，因此 Lα[R] 是 # 生成的。伍丁
上面不可访问的基数意味着有足够的投射确定性来启用
我们使用马丁引理来找到一个实数 R，使得 M#(S) 的理论是常数
对于 S Turing-above R。我们声称 M#(R) 满足 SIMH#(ω1)：事实上，令 M 为
# 生成的 ω1 保留 M#(R) 的外部模型，满足某个句子 phi(ω1)。
令 α 为 M#(R) 的序数高度（= M 的序数高度）。从结果来看
超宇宙计划
之前引用的 Jensen 的观点（[6] 的定理 9.1），M 有一个 # 生成的 ω1 保留
对于一些实 S，且 R ≤ T S，外模型 W 的形式为 Lα[S]。当然 α 是最小的
因此 Lα[S] 是 # 生成的。所以 W 等于 M#(S) 并且 W 的 ω1 等于 ω1
M#(R)。通过R的选择，M#(R)也有一个可定义的内模型，满足
ψ(ω1).✷
然而，与 SIMH(ω1, ω2) 一样，SIMH#(ω1, ω2) 的一致性是开放的。
4.9 极大值协议
该协议旨在将高度和宽度最大值的研究组织为三个
阶段。
第 1 阶段。最大化序数（高度最大值）。
第 2 阶段。最大化序数后，最大化基数。
第 3 阶段。最大化序数和基数后，最大化幂集（宽度
最大）。
第 1 阶段由 # 代负责。所以我们现在关注第二阶段，即基数最大化。
根据第一阶段，我们现在假设 V 是 # 生成的，并且在讨论时
V 的外部模型我们只考虑那些也是 # 生成的模型。
我们想要一个标准，它表示对于每个基数 κ, κ
+ 一样大
尽可能。首先，让我们考虑 κ = ω 的情况，因此我们想要最大化
ω1。当然，基本问题如下。作为 #- 的集合通用扩展
生成的模型也是 # 生成的：
事实。V 有一个 # 生成的外部模型，其中 ω
在
1
是可数的。
但我们肯定想要这样的东西： ω
L[x]
1
对于每个实数 x 都是可数的。这
这样做的原因是 ω
L[x]
1
，与 ω 不同
在
1
一般来说，在 V 和所有的之间是绝对的
它的外部模型。
定义 16. 令 p 为 V 中的一个参数，P 为 V 中的一组参数。然后
如果存在参数来自 P 的公式 phi，则 p 相对于 P 是强绝对的
弗里德曼
定义 V 中的 p 以及所有 # 生成的 V 保留基数的外部模型
直到并包括 中提到的参数的遗传基数
10
.
通常我们会取 P 由某个无限基数 κ 的所有子集组成，在
在这种情况下，上述定义中的基数保留指的是基数最多
并包括κ。
卡最大(κ
+)（对于 κ 来说是无限基数）。假设序数 α 是强的
相对于 κ 子集的绝对值。那么 α 的基数最多为 κ。
可以证明，如果 κ 是正则的，则在
哪个CardMax(先生
+) 成立。
问题 17. CardMax 是否一致，其中 CardMax 表示 CardMax(κ
+) 为
所有无限基数 κ，无论是正则基数还是奇异基数？
内部基数极大性
实现基数极大性的另一种方法是将 V 的基数与那些相关联
其内部模型。两个大的内部模型是HOD，遗传性的阶级
序数可定义集，以及较小的内部模型 S，即 [13] 的稳定核心。V 是
每个模型的类通用性。
令M表示内部模型。
M-基本违规。对于每个无限基数 k, k
+ 大于 κ
+ M。
在[9]中表明HOD-基数违规是一致的。我们能否加强
这？
问题 18. 对于每个无限基数 κ, κ 是否一致
+ 无法访问，
HOD 中可测量甚至超紧凑？这与 HOD 替换为一致吗
稳定核心S？
Shelah 的结果表明，对于某些固定的情况，κ 的所有子集都属于 HODx
当 κ 是不可数共尾性的奇异强极限基数时，κ 的子集 x。
根据[8]，这在可数共尾性上不一定成立。
问题 19. 对于每个无限基数 κ, κ 是否一致
+ 大于
K
+ Sx（相对于 x 的稳定核心）对于 κ 的每个子集 x？
10我们感谢一位裁判指出早期版本的基数极大性
较弱的参数绝对性假设是不一致的。类似的现象与弱
绝对参数出现在[18]的定理10中。
超宇宙计划
HOD 和 S 之间的一个主要区别是，虽然任何集合都是集合通用的
HOD，S 的情况并非如此。
问题 20. 对于每个无限基数 κ，κ 的某个子集是否一致
+
对于 κ 的任何子集 x 来说，Sx 不是集合通用的吗？
对这三个问题中任何一个的积极回答都会产生强大的内部影响力。
V 的基数极大原则。
第三阶段：最大化序数和基数后，最大化幂集。
这是我们重新审视 SIMH 的地方，但仅限于 # 代和
基本保存。再次假设 V 是 # 生成的。
如果存在无参数公式，则 V 中的参数 p 是基数绝对的
在 V 的所有 # 生成的外部模型中定义 p ，这些模型与 V 具有相同的基数。
SIMH#(CP)（保留基数 SIMH#）。假设 p 是绝对基数
参数，V
∗
是 # 生成的 V 的外部模型，与 V 和具有相同的基数
是一个带有参数 p 的句子，它在 V 中成立
∗
。那么 ψ 在内模型中成立
V 的。
问题 21. SIMH#(CP) 是否一致？
请注意，SIMH#(CP) 意味着 CH 的严重故障。
4.10 宽度不可辨
极大协议的替代方案（理想情况下应与
它）是宽度不可辨别性。动机是提供 V 宽度的描述
类似于 #- Generation 提供的高度描述。
回想一下，通过#- Generation，我们得出以下结论：
V0≺V1≺···≺V=V∞≺V∞+1≺···
其中i < j，Vi
是 Vj 的排名初始段。此外，型号 Vi
形成一个
强烈意义上的难以辨别的模型的集合。这张照片的结果是
从高度反射开始的分析，首先是 V 必须
有无限多个初始段 Vi ，它们是 V 中的基本段。
类似地，我们引入宽度反射。我们想说 V 有
正确的内部模型是“V 中的基本模型”。当然，这不可能是字面上的意思
弗里德曼
正确，就好像 V0 是 V 的基本子模型，其序数与 V 相同，那么它是
容易看出 V0 等于 V 。相反，我们使用基本嵌入。
宽度反射。对于每个序数 α，都有一个适当的基本子模型 H
V 使得 Vα ⊆ H 且 H 是服从的，即 H ∩ Vβ 对于每个序数都属于 V
b.
同等效果：
宽度反射。对于每个序数 α，都有一个不平凡的基本嵌入
j : V0 → V ，临界点至少为 α ，使得 j 是可以接受的，即 j ↾ (Vβ)
V0
对于每个序数 β 都属于 V。
如果存在一个不平凡的服从 j ： V0 → V ，如第二个所示，我们写 V0 < V
宽度反射的公式。这种关系是传递性的。
命题 22. (a) 如果 V0 < V 则 V0 是 V 的真内模型。
(b) 宽度反射相对于拉姆齐基数的存在是一致的。
证明。(a) 这是根据库南定理得出的，即不存在非平凡的
从 V 到 V 的基本嵌入。
(b) 假设 κ 是拉姆齐。那么可以得出以下形式的任何结构
M = (Vκ,ε, . . .) 具有无界的不可辨别集合，即无界子集
I 的 κ 使得对于每个 n，来自 I 的任意两个递增 n 元组满足相同的条件
M 中的公式。现在将其应用于 M = (Vκ,ε, <)，其中 < 是 Vκ 的良序
长度κ。令 J 为 I 的任意无界子集，使得 I \ J 为无界且对于
任意 α < κ，设 H(J ∪ α) 表示 M 中 J ∪ α 的 Skolem 壳。则 H(J ∪ α) 为
Vκ 的基本子模型，不等于 Vκ，因为 I \ J 中没有元素
大于α就属于它。由于 Vκ 包含 κ 的所有有界子集，因此可以得出以下结论
H(J ∪ α) 是可行的。✷
上面 (b) 中的参数的一个变体产生任意长的一致性
有限链 V0 < V1 < · · · < Vn。但获得无限这样的链似乎更
困难，我们甚至可以更雄心勃勃地问：
问题 23. 长度 Ord + 1 的 V0 < V1 < ...... < V 是否一致
Vi 的联盟
等于 V 吗？
后者将是制定一致的标准的良好开端。
宽度不可辨别性，类似于宽度最大值的标准
#- Generation 提供的高度最大值。
超宇宙计划
4.11 全知
通过 OMT(V )，即 V 的外模型理论，我们指的是具有
V 中的任意参数在 V 的所有外部模型中都成立。我们已经看到
使用 V 逻辑，OMT(V ) 可在 V 上定义
+。然而对于许多宇宙 V ，
OMT(V ) 实际上是 V 上的一阶可定义的。据说这些宇宙是
无所不知。
回想一下塔斯基关于真理的不可定义性的结果的以下版本：
命题 24. 参数来自 V 且在 V 中成立的句子集合为
在 V 中不能用参数（一阶）定义。
然而令人惊讶的是，麦克·斯坦利证明了 OMT(V ) 确实可以是 V -
可定义的。
定理 25. (M.Stanley [30]) 假设在 V 中存在一个真类可测基数，并且该类实际上是 V
+-平稳，即 Ord(V ) 是正则的
相对于V
+-可定义函数，此类与 Ord(V ) 中的每个俱乐部相交
这是V
+-可定义。那么 OMT(V ) 是 V 可定义的。
证明。使用 V 逻辑，我们可以翻译这样的陈述：一阶句子 phi
（参数来自 V ）在 V 的所有外部模型中都适用于句子的有效性
披
∗
在 V 逻辑中，可以通过 V 表达的事实
+ 由 Σ1 句子组成。使用这个我们表明
V 的所有外部模型中都成立的 phi 集合是 V 可定义的。
由于 Ord(V ) 相对于 V 是正则的
+-可定义的功能我们可以组建一个俱乐部
Ord(V ) 中的 C，使得对于 C 中的 κ，存在来自 Hyp(Vκ) 的 Σ1 基本嵌入
进入V
+（具有临界点 κ，将 κ 发送到 Ord(V )）。事实上C可以选择为
在
+-可定义。
对于 C 中的任意 κ 令 phi
∗
κ 是 Vκ 逻辑的句子，使得 phi 在所有外部都成立
Vκ 当且仅当 phi 的模型
∗
K
有效（Hyp(Vκ) 的 Σ1 属性）。通过基本性， phi
∗
K
已验证
当且仅当
∗
已验证。
现在假设 phi 在 V 的所有外部模型中都成立，即 phi
∗
已验证。那么 ψ
∗
K
是
对于 C 中的所有 κ 均有效，并且由于可测量值形成 V
+-固定类，有一个
可测量 κ 使得 phi
∗
K
已验证。
相反，假设 ψ
∗
K
对于某些可测量的 κ 是有效的。现在选择正常的
测量 κ 上的 U 并迭代 (H(κ
+), U) 用于 Ord(V ) 步骤以获得有根据的
结构（H*
，U*)。（这个结构是有根据的，对于任何可接受的集合A，任何
弗里德曼
A 中的测量可以迭代，而不会失去 α 步骤的有根据性，对于任何
A 中的序数 α。）然后 H*
等于 Hyp(V
∗
）对于一些V
＊ ⊆ V 。根据基本原理，
句子 ψ
∗
V ∗ 断言 phi 在 V 的所有外部模型中都成立
∗
已验证。但作为
在
∗
是 V 的内部模型， phi 也适用于 V 的所有外部模型。
因此，如果对于某个可测量的 κ 属于 OMT(Vκ)，则 phi 恰好属于 OMT(V )，并且这是一阶可表达的。✷
全知需要可测量的基数吗？事实上，斯坦利能够
只使用拉姆齐红衣主教，但就全知的一致性而言，我们有
下列的：
定理 26. ([16]) 假设 κ 不可访问且 GCH 成立。然后有
Vκ[G] 形式的全知模型，其中 G 是 V 的泛型。此外，Vκ[G]
带有可定义的井序。
全知证明可以用任意的外在来对待真理
以类似于集合泛型扩展中的真值的方式进行内部建模
使用集合强制的标准可定义性和真值引理来处理。事实上，
情况甚至更好，因为整个外模型理论是一阶可定义的，
不仅仅是该理论对有限复杂性句子的限制，
强制设置的情况。（主要区别在于，在强制设置的情况下，地面
模型 V 在其集合通用扩展中是统一可定义的，因此完整的
OMT(V ) 不能由命题 24 在 V 中一阶可定义。全知 V
出于同样的原因，不能在其任意外部模型中统一定义。）
另请注意，根据定理 25，全知与 # 代可以很好地综合：
我们只需要使用具有足够多可测量基数的模型。
4.12 惠普的未来
我们已经讨论了类型 1 的证据，它来自集合论作为集合论的一个分支
数学，以及类型 2 的证据，来自集合论作为基础的作用
对于数学。在第一种情况下，证据是根据其对集合论数学发展的价值来判断的，在第二种情况下，证据是根据其价值来判断的
解决数学其他领域的独立性（并为其提供工具）。
在这两种情况下，证据的权重都是由研究人员的共识来衡量的
在外地工作。
第 3 类证据还通过一组研究人员的共识来衡量
理论（及其哲学），而是源于对内在本质的分析
超宇宙计划
由最大迭代概念表示的集合概念的极大性特征。超宇宙计划提供了一种推导数学的策略
这种观念的后果。
为了更清楚地说明 HP 如何得出最大值的结果
V 的我将讨论#- Generation 的情况以及对最佳最大值的搜索
标准。
#一代是惠普的一大成功。它为高度最大值提供了强大的数学标准，这意味着所有先前已知的高度最大值
原理并提供了关于如何最大化 V 的高度的优雅描述
类似于通过大基数的存在（或等效地，通过 0# 的存在）使 L 的高度最大化的方式。有充分的理由相信
#- Generation 将被集合论学家和哲学家社区接受
集合论作为高度极大值的明确表达。
宽度最大值当然比高度最大值困难得多，
各种可能的宽度最大值的制定、分析和综合
标准尚处于早期阶段。基本的 IMH 是一个好的开始，但必须综合起来
与#一代。目前最大的挑战是处理配方
使用参数的宽度最大值。最大协议是
一个有前途的方法。但需要强调的是，数学上
宽度最大原则的分析具有挑战性，并且肯定存在一些问题
程序开发中出现错误，导致网络原则不一致
（这种情况已经发生过好几次了）。这种错误的转弯不会损害
该计划，而是提供对本质的有价值的进一步理解
最大化。
HP 的目标是经过大量数学工作后得出最佳结果
集合域的高度和宽度的极大值准则，提供
最大迭代概念的完整数学分析。正如已经说过的，
这种标准是否最佳的验证取决于研究人员的共识
研究集合论及其哲学。最大迭代的可导性
概念指的是这种广受追捧的最佳标准的形式推导性。的
最有趣的是从极大性导出的一阶陈述，但它是
已经明确该计划中正在制定的标准，例如
本文提到的几乎都是非一阶的。我的预测是
最佳标准将包括某种形式的 SIMH，因此意味着
CH 的（一阶）失效。
弗里德曼
我仍然乐观地认为，当这个计划的发现结合起来时
随着集合论的进一步研究及其在解决其他数学领域的独立性问题中的应用，论文所表达的预测
集合论真理将得到令人满意的实现。但首先有很多工作要做
做完了。
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