S6G8 欲穷千里目需上几层楼
欲穷千里目更上一层楼真的就可以实现吗?我们想要看到千里之外,到底要站在多高的地方?今天我们利用geogebra来模拟实际问题的可视范围,具体感知一下要登多高才能实现千里之外?

在这一讲我们将分三部分来介绍。第一部分,就是利用[切线]、[交点]、[垂线]等工具构造可视的范围;第二部分就是动态文本的设置以及BD近似值的解读;第三部分利用所在城市的地图来显示可视的范围。
任务1:制作圆的切线(挑战★)
【说明】这部分是利用[滑动条]构造半径以及观测点的高度,为了显示可视范围,利用[切线]、[交点]工具构造切线以及切点,再利用[圆弧]工具来显示可视范围
【操作】
R=6400 #R:地球半径
O=(0,0) #O:地球中心
c=圆周(O,R) # 利用圆心和半径来构造圆周
A=(0,R) #A:观测点
h=滑动条( 0,1000,0.1,1,100 ) # 滑动条(最小值,最大值,增量,速度,宽度)
V=(0,R+h) # 此时拉动滑动条h可以观察V的变化

# 利用[切线]工具,点V和圆构造两条切线;
切线(V,c) #切线(点,曲线) #切线:tangent
#选择[交点]工具,选切线和圆构造交点B、C;
交点(B,C) #交点(对象1,对象2) # 交点:intersection
# 再利用[线段]工具连接VB、VC、OB、OC,隐藏标签或一开始在设置里保存只显示新点标签
线段(B,C) #线段(点1,点2) # 线段:segment

#利用[圆弧]工具(带圆心),选择O、B、A构造弧AB
圆弧(O,C,A) #圆弧(圆心,点1,点2) #圆弧: circulararc
#利用[垂线]工具,选B、线段OA构造垂线
#垂线(B,m ) #垂线(点,线段OA) #垂线:perpendicular
#利用[交点]工具,选择垂线和OA构造交点D,连接BD
交点(p,m) #交点(对象1,对象2) # 交点:intersection

tips:当h足够小的时候,BD、弧AB、BV越来越接近,可以利用BD的长度来估算AB的弧长,体现了数学的转化思想,把不方便计算的弧AB的长度转化为方便计算的线段AB的长度,如何计算AB的长度,下一个任务揭晓方法。
任务2:设置动态文本(挑战★)
【说明】这部分主要是利用文本以及输入框进行对应的关联,调整观测点的高度观察可视范围,重点在于利用射影定理求垂线段BD的长度,即弧长AB的近似值。
【操作】
BD: sBD # sBD的第一个字母s代表线段(segment)
BV: sBV # sBV的第一个字母s代表线段(segment)
弧AB: caAB # caAB的前两个字母ca代表圆弧(circular arc)
BV=sBV
\overset{\Large \frown}{\small AB}=caAB # caAB 在高级里关联
#\overset{\Large \frown}{\small AB}:表示弧AB,Large放大弧的符号,small缩小字母AB

# sBD 在高级里关联
BD=sBD
# 在空白公式框输入(2*h*R)**0.5 ,表示把2hR开方 ,**等价于^
\sqrt{2 h R}=(2*h*R)**0.5
BD^2=D\times DO\\ #\\ 表示换行
\approx 2h (R—h) #approx :近似于
\approx 2Rh #approx :近似于
#为了h的取值更精准,利用输入框,命名为高度h,关联对象h,长度设置为4
#隐藏滑动条h的标签,再输入80,可视范围即为100km左右

tips: 在双垂图中,由射影定理可知:BD^2=DV*DO,当h很小的时候,DV≈2h,OD≈R—2h≈R 所以BD^2≈2hR,即对于弧AB的长度。
任务3:利用地图来显示可视范围(挑战★)
【说明】这部分利用比例尺计算半径,利用圆心和半径构造圆周,对应的就是在地图上的可视范围
【操作】
PLD=(0,0) #PLD: 左下角
PRD=(10,0) #PRD: 右下角
su=segment(E,F) # 构造地图上的单位长即线段EF=50公里
ud=50 #关联到输入框中,命名为单位长度,输入框的长度调整为4
#利用[交点]工具在地图上构造点G,根据以下比例式可得:
rG=caAB/su *ud
#再利用圆心(G)和半径(rG)构造圆周,即对应地图上的可视范围


参考资料
Geogebra 档案:https://www.geogebra.org/m/gqjapce9#material/yux97zpk
bili 教学视频: https://www.bilibili.com/video/BV1JK411M7od
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主题:欲穷千里目需上几层楼
姓名: 杨 华(2020 /8/25 17:00)
链接:https://ggb123.cn/classic/garbwtay
心得:利用geogebra来模拟一定高度的可视范围,同时搭配地图来显示,体现了用数学来解决实际问题,最巧妙的处理就是当高度足够小的时候可以转化为线段的长度进行估算,其实估算也是数学能力的一项重要技能。
截图:
