《自然辩证法·学习札记》2.8 数学方程式是从那里来的？

【本文转载自上海人民出版社1973年版 仅供学习参考】

数学方程式是从那里来的？

  数学方程式是从那里来的？唯物主义认为，它是物质运动规律在一定条件下的反映。数学方程式和物理世界的关系，实际上是意识和物质的关系。而马赫主义者却认为，先有数学方程式，而后才有物理世界；一旦这种数学方程式先验地产生以后，才“力图使物理学接近数学，把数学的一般理论搬用于物理学”。他们把这种被歪曲了的东西说成是“科学的哲学”，以此来攻击和否定马主义的辩证唯物论。导师在《唯物主义和经验批判主义》这部著作里，一针见血地指出，马赫主义的这种观点，实质上是重复了康德唯心主义先验论的观念：“理性把规律强加于自然界”。

  到底是先有物理世界，数学方程式从物理世界中来的；还是先有数学方程式，然后才出现物理世界呢？数学史是最好的见证。

  数学上的多元一次方程组和二次方程，都不是先验地产生的。据中国公元一世纪《九章算术》一书记载，劳动人民在从事农业和土木建筑的生产活动中，为了解决其中的许多度量和测量的计算，才开始从许多实际问题中得出和研究这些方程。譬如，该书中有这样一段记载：“今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？”意思是说，要测量一块面积为55,225平方的正方形，其边长应该是多少？对这样一个实际问题，劳动人民用布置算筹的方法来计算的，用现在数学符号表示出来就是一个二次方程：x的平方=55225。又臀如，该书中叙述了劳动人民在农业生产的计量中遇到这样一个问题，“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？”这里“禾”是指稻，“秉”是指捆，“实”是指将稻打成的谷子。上面第一句话的意思是：现有上等稻三捆，中等稻二捆，下等稻一捆，打成谷子后共有三十九斗。后二句类推。对这样一个生产实际中的问题，古人运用布筹式求解，用现在的数学符号表示出来，即3x+2y+z=39、2x+3y+z=34、x+2y+3z=26。这就是一个三元一次联立方程组。这二个例子，清楚地说明：数学方程并不是什么先验的东西，更不是二十世纪初由马赫主义者悟出来的超自然的、与现实客观物质完全脱离的东西，而是早在马赫主义流行一千九百多年前，我国劳动人民已经从生产斗争的实践中初步概括出来了。当然，在二千多年前由于生产水平等历史条件的局限，劳动人民还不可能提出像今天这样用较为完善的数学符号所表达出来的数学方程式，但它毕竟已是数学方程式的原始雏形。而且正因为这一点，它恰恰更生动、更雄辩地说明了数学方程式最初是来源于人们变革现实的实践，起源于人们筹算中最原始的“经验”。试问，假如生产斗争中没有这类计算问题的需要，没有劳动人民通过无数次的实际演算所获得的感性经验，人们能够凭空创造出上述的二次方程和多元一次方程组吗？再譬如，八次方程的研究，也不是脱离实践的“人心的产物”，而是德国数学家高斯在一八〇一年观测谷神星时提出来的。当时，人们需要从对行星的有限次观测去计算它的运行轨道，高斯研究和解决了这个问题，从这个问题中得出八次方程。很明显，如果现实世界中没有谷神星在运动，没有人们对它的观测和研究，高斯的这个八次方程是无论如何也提不出来的。在物理学中运用较广的微分方程，也不是由人们主观臆造出来以后再强加给物理学的。恰恰相反，微分方程的理论，是在已有物质运动材料的基础上，历史地产生和建立起来的。例如，在物理学中，质量守恒方程、热能守恒方程、介质运动方程、弦振动方程等微分方程式，都是一定条件下物质运动规律的反映。

  马主义者并不否认数学的抽象性。但是，数学的这种抽象是在一定物质基础上的抽象。正因为如此，在数学的科学的抽象中，那些看来似乎是神秘的东西，一旦和实际事物联系起来，就很容易明白了。譬如，微分概念初看起来似乎很神秘，但和现实世界中化整为零、无限分割的现象联系起来，就一目了然了。积分概念和现实世界中积零为整、无限积累联系起来，也就清楚了。恩老师在《自然辩证法》一书中，就用硫磺升华的自然现象来解释微分，用水蒸汽在容器中由于压力和冷却又凝结成水的自然现象来解释积分，说明了抽象的数学概念是客观物质世界中来的。导师指出：“物质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象及其他等等，一句话，那一切科学的（正确的、郑重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”[i]科学的数学方程式，就其形式而言，是抽象的，但就其反映的对象而言，则是具体的、客观的。

  数学方程式是从物理世界中来的，反过来它又可以运用到物理、天文和其他科学技术中去。把很多物理问题和技术问题的研究转化为一些数学方程来解决。牛顿研究天体运动的微分方程，从理论上描述了行星的运动规律，勒维烈在一八四六年根据这个微分方程式的计算，预言海王星的存在，并确定了海王星在天空的位置。后来人们果然从天文观测中发现了这颗行星。这生动地说明了数学方程是从实践中来，又反过来为它服务，推动它的发展。

  但是，马赫主义者却利用数学方程式的抽象性和广泛应用，把数学方程绝对化，胡说：“物质可以归结为单纯的数学公式”，“世界不过是数学方程式”，而数学方程在他们看来，又纯粹是“人心的产物”，“学者的智慧所创造”的。这显然是十分荒诞的。数学方程式从一定程度上反映了客观物质运动某一方面的规律，但决不能说，数学方程式就可以取代整个世界。马赫主义者这种形而上学地夸大抽象思维在人们认识过程中的作用，是企图用数学方程式来取代物质，并最后抛弃物质本身。导师指出：“自然科学的辉煌成就，它向那些运动规律可以用数学来处理的同类的单纯的物质要素的接近，使数学家遗忘了物质。‘物质消失了’，只剩下一些方程式。”这样，他们必然使数学研究走进主观唯心主义的si胡同，使物理学变成抽象的数学游戏。导师尖锐地指出，这是在十九世纪末、二十世纪初“产生‘物理学’唯心主义的第一个原因”。

  [-]。为了提高路线斗争觉悟，搞好数学研究工作，我们必须坚持唯物论的反映论，批判唯心论的先验论，用唯物辩证法占领数学阵地，让数学更好地为无产阶级的社会主义革命和社会主义建设服务。

注：

[i] 黑格尔《逻辑学》一书摘要。