凝聚态场论常用公式（11）：QHE与Chern数（弱化版本）

2023-03-29 13:56 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

由弱化的线性响应理论可得

$%5Csigma_%7Bxy%7D(%5Comega)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%5Comega%7D%5Cint%5E%7B%5Cinfty%7D_%7B0%7Ddt%5C%20e%5E%7Bi%5Comega%20t%7D%5Clangle0%7C%5BJ_y(0)%2CJ_x(t)%5D%7C0%5Crangle%2C$

插入 $%7Cn%5Crangle$ 态对时间积分（积分用侧极限定义防止发散）

$%5Csigma_%7Bxy%7D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Comega%7D%5Csum_%7Bn%5Cne0%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Clangle0%7CJ_y%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7CJ_x%7C0%5Crangle%7D%7B%5Chbar%20%5Comega%2BE_n-E_0%7D-%5Cfrac%7B%5Clangle0%7CJ_x%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7CJ_y%7C0%5Crangle%7D%7B%5Chbar%5Comega%2BE_0-E_n%7D%5Cright%5D%2C$

对分母展开 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%5Comega%2BE_n-E_0%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BE_n-E_0%7D-%5Cfrac%7B%5Chbar%5Comega%7D%7B(E_n-E_0)%5E2%7D%2C$

$%5Csigma_%7Bxy%7D%3Di%5Chbar%5Csum_%7Bn%5Cne0%7D%5Cfrac%7B%5Clangle0%7CJ_x%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7CJ_y%7C0%5Crangle-%5Clangle0%7CJ_y%7Cn%5Crangle%5Clangle%20n%7CJ_x%7C0%5Crangle%7D%7B(E_n-E_0)%5E2%7D%2C$

此即Kubo-Greenwood公式的弱化版本. 样品长宽为 $(L_x%2CL_y).$

对于本征态考虑微扰 $%5CDelta%20H%3D-%5Csum_%7Bi%3Dx%2Cy%7D%5Cfrac%7BJ_i%5CPhi_i%7D%7BL_i%7D%2C%5C%20%7C%5Cpsi_0%5Crangle%5E%7B%5Cprime%7D%3D%7C%5Cpsi_0%5Crangle%2B%5Csum_%7Bn%5Cne%5Cpsi_0%7D%5Cfrac%7B%5Clangle%20n%7C%5CDelta%20H%7C%5Cpsi_0%5Crangle%7D%7BE_n-E_0%7D%7Cn%5Crangle.$

考虑绝热近似 $%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi_0%7D%7B%5Cpartial%20%5CPhi_i%7D%5Crangle%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BL_i%7D%5Csum_%7Bn%5Cne%5Cpsi_0%7D%5Cfrac%7B%5Clangle%20n%7CJ_i%7C%20%5Cpsi_0%5Crangle%7D%7BE_n-E_0%7D%7Cn%5Crangle.$

代入Kubo公式可得(这里乘了一个面积) $%5Csigma_%7Bxy%7D%3Di%5Chbar%5B%5Cpartial_%7B%5CPhi_x%20%7D%5Clangle%5Cpsi_0%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi_0%7D%7B%5Cpartial%20%5CPhi_y%7D%5Crangle-%5Cpartial_%7B%5CPhi_y%7D%5Clangle%5Cpsi_0%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi_0%7D%7B%5Cpartial%20%5CPhi_x%7D%5Crangle%5D.$

引入无量纲自变量以及Berry联络，曲率

$%5Ctheta_i%3D2%5Cpi%5Cfrac%7B%5CPhi_i%7D%7B%5CPhi_0%7D%5Cin%5B0%2C2%5Cpi)%2C%5C%20%5Cmathcal%7BA%7D_i(%5Ctheta)%3D-i%5Clangle%5Cpsi_0%7C%5Cpartial_%7B%5Ctheta_i%7D%7C%5Cpsi_0%5Crangle%2C%5C%20%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bij%7D%3D%5Cpartial_%7B%5Ctheta_i%7D%5Cmathcal%7BA%7D_j-%5Cpartial_%7B%5Ctheta_j%7D%5Cmathcal%7BA%7D_i.$

可以得到霍尔电导和第一陈数的关系：

$%5Csigma_%7Bxy%7D%3D-%5Cfrac%7Be%5E2%7D%7B2%5Cpi%5Chbar%7DC%2C%5C%20C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7BMBZ%7Dd%5E2%5Ctheta%20%5C%20%5Cmathcal%7BF_%7Bxy%7D%7D%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D.$

即整数霍尔电导是一个拓扑数.

值得注意的是，本文的推导是个弱化版本. 正因为弱化了很多内容，所以导致很多地方比较刻意，而且有不少概念缺失，比如：

（1）：Kubo-Greenwood公式是格林函数的内容，本文没有证明，而是凑出一个弱化版本.

（2）：Berry联络与曲率没有给出解释，正如TKNN当时没有认识到这一层一样.

（3）：几何与拓扑的关系没有解释，第一陈数为什么是整数没有解释.

标签：

凝聚态场论常用公式（11）：QHE与Chern数（弱化版本）

凝聚态场论常用公式（11）：QHE与Chern数（弱化版本）的评论 (共条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

凝聚态场论常用公式（11）：QHE与Chern数（弱化版本）

本文作者的其他文章

凝聚态场论常用公式（11）：QHE与Chern数（弱化版本）的评论 (共 条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

凝聚态场论常用公式（11）：QHE与Chern数（弱化版本）的评论 (共条)