对禁书55的解答

一眼丁真，鉴定为高联难度的水题

下面是做此题时的详细思路（水200字）

老规矩，先审题：

显然(C,B)(D,A)是两组位似对应点，这就存在许多平行（CP∥BO、DP∥AO）。

再看看要证明的是比例相等，这里做的时候没有使用中线长公式，因为有些丑陋。故而我先从BC/AD入手，开始化简。

BC/AD=BC/PO·PO/AD=CR/PR·PR/RD=CR/RD

本人转化比例式很喜欢使用正弦定理，这里又自然转化了一步：

BC/AD=CR/RD=CR/CP·DP/RD=sin∠CPR/sin∠R·sin∠R/sin∠DPR=sin∠CPR/sin∠DPR

转化到这里，再观察一下QM/QN，也用正弦表示一下，得：

QM/QN=sin∠QNM/sin∠QMN

若想要BC/AD=QM/QN，只需证明：

sin∠CPR/sin∠DPR=sin∠QNM/sin∠QMN

做个大胆猜测，会有∠CPR=∠QNM、∠DPR=180°-∠QMN吗？

在这里有些卡住，似乎无从下手。

我再重新看了一下条件，发现O,P;Q,R成调和点列，M、N分别是BC、AD的中点，这两个条件却均未用到，如何使得中点统一起来呢？

在这里，脑海中突然浮现非常熟知的调和点列的性质：

那就尝试一下：以OP为直径作○S（画精确图！），我们惊奇地发现M、N都在○S上！

但转念一想，这并不奇怪，因为M、N不妨可看做是另一对位似对应点。

那么在默认上述猜测成立的情况下，与上述调和性质统一，得到了两对“子母型”相似，进而得到相等的角∠SNQ=∠R=∠SMQ，进而得到QMNS共圆，则∠CPR=∠QNM、∠DPR=180°-∠QMN是显而易见的。

那么，只需证○S经过M、N即可，这由梯形中位线是显而易见的。但在这里想体现一下M、N作为位似对应点的性质，便使用了同一法进行证明。

至此，本题结束，下面是完整过程：

P.S.此题真的可以拿去给初学调和与位似者练手，但别告诉他这是禁书55（笑）