【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我的大一物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章有理数

§1-4数轴

【01】我们在量身高的时候，通常可用一根直立的木尺，划上许多横格，并注明一些表示长度的数字（一般用厘米作为单位长度）。当一个人站到下面的垫板上时，他的足底刚刚对准这根尺的起点，从他的头顶所对的尺上的位置，可以读出他的身高的厘米数来。这就是说，对于每一个身体高度的厘米数，这根木尺上有一个和它对应的位置。

【02】我们容易想到，是不是对于所有的有理数，正的、负的和零，也可以有类似这样的尺，使每一个有理数都能在尺上找到它的对应的位置呢？

【03】有的。事实上温度计就是这样一根尺。在温度计上，我们既有对应于正的度数的点，也有对应于零度的点，并且还有对应于负的度数的点。

【04】用同样的方法，我们可以用一条直线上的点来表示全部有理数。

【05】现在说明如下：

【06】任意画一条水平方向的直线，规定它的一个方向是正的，和它相反的方向是负的（通常规定向右的方向是正的，向左的方向是负的），画一个箭头表示它的正方向，如图1·3  。

【07】如同木尺上的起点和温度计上的零度点一样，我们在这条直线上任意取一点 0，表示有理数零，这一点叫做原点。如同木尺上的厘米长度和温度计上的一度的格子一样，我们可以任意指定一个单位长度，画在这条直线的旁边。然后在直线上，从原点 0 开始，依照这个单位长度，向右一次一次的截过去，顺次得到对应于正整数的各点的位置＋1，＋2，＋3，＋4，…等；再从原点 0 开始，依照这个单位长度，向左一次一次的截过去，顺次得到对应于负整数的各点的位置，－1，－2，－3，－4，…等。如果我们要表示分数的位置，那末只要从原点 0 向右依照单位长度截取 4 次，再截取相当于单位长度的一半，得到的点就表示有理数了。用同样的方法，我们可以在这条直线上找出表示任意有理数的点。这种用来表示数的直线叫做数轴。

【08】从上面所讲，我们可以看出：

【09】数轴是一条用来表示数的直线，它要有规定的正方向，原点和单位长度。

【10】从图上可以看出，所有表示正数的点都在原点的右边，所有表示负数的点都在原点的左边。原点本身就表示既不是正数也不是负数的数 0  。

【11】数轴上表示一个数的点叫做这个数的对应点，严所有不相等的数都有不同的对应点。

习题1-4

1、画出一条数轴。标出它的原点，正方向和单位长度。在这条数轴上指出下列各数的对应点：＋3，3，0，，  。

2、数轴上原点右面的点表示的是什么数？左面的点呢？

3、数轴上会不会有两个不同的点表示同样的数？

4、数轴上会不会有一个点表示两个不同的数？

5、画出一条数轴，在数轴上作出下列各个数的对应点：＋5，－5，＋1，－1，，，0  。从图上各点的左右位置，把这 7 个数依照对应点的位置，从左到右排列起来。

6、从上面这个题目的各点的位置，看看：＋5 与－5 的两个对应点与原点的距离一样吗？这两点的位置有什么不同＋1 与－1 呢？ 与 呢？