[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.4(III)

2023-08-16 08:40 作者:瀰㴉夃 0人读过 | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

以下解答均摘自本书第五章：习题解答

习题2. 对于一个2n边形，各边切于一焦点为 $F$ 的圆锥曲线，将其各边交替着涂成黑色和白色．求证从点 $P$ 向所有的黑色边两端引分别两条射线，其夹角角度之和等于 $180%5E%5Ccirc$ ．

解答. 将切点及多边形顶点与 $F$ 连接，把黑色边所对的角涂成红色，白色边所对的角涂成蓝色．由定理1.4，由 $F$ 到多边形的相同顶点旋转出的不同颜色角相等．故有红色角角度等于蓝色角角度，即都为 $180%5E%5Ccirc$ ．

（译者注：以下是椭圆外切六边形的情形（图k）．）

习题3. 一椭圆内接于一个凸四边形，其中四边形的两对角线分别经过两焦点．求证在四边形中有对边的乘积相等．

解答. 由命题条件可发现对角线 $AC$ 分别关于 $%5Cangle%20A$ 和 $%5Cangle%20C$ 角平分线的对称直线交于对角线 $BD$ 上一点 $P$ （译者注：实际上， $P$ 就是椭圆的一个焦点，而结合彭赛列小定理此结论是显然的）．在 $%5Ctriangle%20ABP$ 、 $%5Ctriangle%20ADP$ 、 $%5Ctriangle%20ABL$ 及 $%5Ctriangle%20ADL$ 使用正弦定理，其中 $L$ 为两对角线的交点，有 $%5Cfrac%7BBL%7D%7BDL%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BBP%7D%7BDP%7D%3D%5Cfrac%7BAB%5E2%7D%7BAD%5E2%7D$ ．同理，也有 $%5Cfrac%7BBL%7D%7BDL%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BBP%7D%7BDP%7D%3D%5Cfrac%7BCB%5E2%7D%7BCD%5E2%7D$ ．于是可得 $%5Cfrac%7BAB%7D%7BAD%7D%3D%5Cfrac%7BCB%7D%7BCD%7D$ ，原命题得证．