Ax＝0与A*x＝0非零公共解存在的条件

我们先说结论非0公共解存在的条件是 A为n×n矩阵 A*＝O（也就是r（A）≤n-2） 或者 r（A）＝n-1（也就是r（A*）＝1） 而且 tr（A*）＝0 结论证明：1.A伴随＝O时候 A*的解空间为n维所以肯定存在和A的非零公共解 二，r（A）＝n-1时候

结论证明完毕 三，应用看题目

第一问 容易发现A是实对称A伴随必然也是实对称 所以A伴随可以对角化 A伴随只有特征值6 对A伴随进行谱分解 直接求出A伴随 发现没有0元素

第二个，因为A实对称所以可对角化所以非0特征值等于矩阵的秩 所以r（A）＝2 r（A*）＝1 r（A**）＝O 所以2不对（伴随矩阵秩的公式） 第三个 A伴随的特征值是 0 0 6（伴随矩阵特征值公式 ） 所以第三个是对的 第四个 由上文结论 我们只需要验证tr（A*）的值即可 tr（A*）＝A*特征值求和＝6≠0所以没有非零公共解 第四个错了 本题答案选B 只有第一和三个这两个正确选项