学不明白的数学分析（五十三）

2023-02-14 23:38 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

才发现上一篇专栏的Tag好像加多了……

本来是打算一口气把函数项级数的内容都写完，写在一篇专栏里的……结果写着写着好像写多了完全放不下了（）

所以没办法，又开了一篇，来继续把函数项级数写完~估计着挣的是最后一篇函数项级数的内容了（嘿嘿）

上一篇我们将幂级数尽可能多地介绍了一些内容，这一篇就要将与之关联度极高的一部分内容——函数的幂级数展开——介绍给大家~顺便为大家介绍一个还比较有意思的内容，就是用多项式去逼近函数。在这一部分会给大家介绍一个用于逼近的多项式——Bernstein多项式。虽然它的逼近效果未必很好，但是却有着其他逼近方式所不一定具备的优良性质。

（后面在介绍到Fourier级数的时候还会介绍到另外几种逼近方式，相较而言可能会比较容易被工程学、物理学等方向所应用。）

Chapter Fifteen 函数列与函数项级数

15.5 函数的幂级数展开式

看到幂级数的形式，其实就不难想到一个我们已经介绍过的内容——Taylor定理。毕竟，Taylor定理的表达式是这样的：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D(x_0)%7D%7Bk!%7D%20(x-x_0)%5Ek%2BR_n(x)$

显然，我们可以认为Taylor多项式是幂级数：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_0)%7D%7Bn!%7D(x-x_0)%5En%20$

的部分和函数列。因此，我们称这一幂级数为Taylor级数。

特别地，当 $x_0%3D0$ 时，Taylor级数变为：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(0)%7D%7Bn!%7Dx%5En%20$

对应地，这一级数称为Maclaurin级数。

如果一个函数在某一点处有任意阶导数，那么我们就能求出这一函数在该点处的Taylor级数。不过，我们还需要认识到，由我们前面讨论的有关幂级数的内容来看，Taylor级数也应该会受到收敛半径的限制。（这恰好体现了Taylor展开只能反映函数在某一点附近的性质，而距离该点越远，在这一点处的展开对函数的估计能力越低。）

另外，我们也需要把我们对Taylor级数所预想的收敛能力放宽一些。也就是说，我们或许不应该期待Taylor级数一般是收敛的，并且很好地收敛到函数附近。有的时候，或许我们都能够看到函数的Taylor级数完全不收敛或者收敛但并不是收敛到函数本身。

因此，我们一般将函数与其Taylor级数之间的对应关系记作：

$f(x)%5Csim%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_0)%7D%7Bn!%7D%20x%5En$

至于右侧级数是否收敛，什么时候收敛，就是我们有待讨论的问题了。

如果我们想要Taylor级数收敛到函数本身，那么由Taylor定理，就应该是：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8Cx%5Cin(x_0-R%2Cx_0%2BR)%EF%BC%8C%5Cbigg%7Cf(x)-%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5Em%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(x_0)%7D%7Bn!%7D%20(x-x_0)%5En%20%5Cbigg%7C%3D%7CR_m(x)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

即余项一致收敛到0。

由此，我们可以推出一个用于判断Taylor级数是否可以收敛于自身的充分条件：

$%5Cexists%20M%5Cin%20%5Cmathbf%20R%5E%2B%EF%BC%8CN%5Cin%20N%5E*%EF%BC%8C%5Cforall%20x%5Cin(x_0-R%2Cx_0%2BR)%EF%BC%8C%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8C%7Cf%5E%7B(n)%7D(x)%7C%5Cle%20M.$

简单说，就是导函数在收敛区间内一致有界。

（命题1）

Chapter Fifteen 函数列与函数项级数

15.6 用多项式一致逼近连续函数

我们说，很多时候我们遇到的函数长得并不是很好看，以至于我们处理起来十分麻烦，同时也不便于我们来应用。因此，我们很多时候就会有一种思路，就是尝试利用一些比较容易被处理的函数来近似代替原本的函数。Taylor定理就是这样一种想法付诸实践的典型例子。

Taylor定理的实践方式比较容易被接受，因为用于逼近原本函数的函数类型是多项式，而多项式是相当容易研究的。更何况，多项式的系数有着属于自己的意义，能够直白地表达原本函数的性质。

不过，Taylor定理虽然很多时候能够被应用得很好，但是也是一种比较苛刻且不容易满足的逼近方式。毕竟，想要能够使用Taylor多项式来逼近，首先就要求函数在逼近点处有任意阶导数，这就很难做到；另外，Taylor级数作为一种幂级数，其收敛性受到收敛半径的限制，一般而言在大范围内难以有好的逼近结果；同时，随着逼近阶数的增大，Taylor多项式还未必收敛到函数本身（上一节提到过的）。因此，我们如果还想使用多项式取逼近函数，那么就得另寻他法，考虑一个更优秀的多项式类别，来胜任这项工作。

我们先来介绍一下一致逼近的定义：

设 $f$ 是定义在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的函数， $%5C%7BP_n(x)%5C%7D$ 是一多项式列。如果满足：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8C%7Cf(x)-P_n(x)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

则称函数 $f$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上能被多项式一致逼近。

从这一定义来看，显然是满足多项式列一致收敛于函数 $f$ 。而由于多项式一定是连续函数，因此能被多项式一致逼近的函数一定是连续函数。那么，到底是不是所有的连续函数都能被多项式一致逼近呢？

答案是肯定的。为了研究这个问题，我们要先来介绍一个多项式——Bernstein多项式。我们先记：

$B_i%5En(x)%3D%20%7Bn%5Cchoose%20i%7D%20x%5Ei(1-x)%5E%7Bn-i%7D%5Cquad%20(i%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20%2Cn)%5Cquad%20(x%5Cin%20%5B0%2C1%5D)$

显然， $B_i%5En%5Cge%200$ ；而由二项式定理，我们也能知道：

$%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20B_i%5En(x)%3D1$

我们特别指出有关 $B_i%5En(x)$ 的一个性质：

$%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20a_iB_i%5En(x)%5Cbigg)'%3Dn%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20(a_%7Bi%2B1%7D-a_i)B_i%5E%7Bn-1%7D$

（命题1）

考虑到我们给出的有关 $B_i%5En(x)$ 的性质，结合我们之前多次使用过的方法，利用求和为1的性质，构造：

$B_n(f%3Bx)%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%20%5Cquad%20(x%5Cin%5B0%2C1%5D)$

称为函数 $f$ 的n次Bernstein多项式。

由于后续证明与应用的需要，我们这里来计算两个简单的例子：

例1： $f(x)%3Dx$

直接计算得：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB_n(x%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%7Bn-1%5Cchoose%20i-1%7D%20x%5Ei(1-x)%5E%7Bn-i%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7D%20x%5E%7Bi%2B1%7D(1-x)%5E%7Bn-1-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7Dx%5Ei(1-x)%5E%7B(n-1)-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20B_i%5E%7Bn-1%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

例2： $f(x)%3Dx%5E2$

还是直接计算：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB_n(x%5E2%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%5E2%7D%7Bn%5E2%7D%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i-1%7D%20x%5Ei(1-x)%5E%7Bn-i%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7Bn%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7D%20x%5E%7Bi%2B1%7D(1-x)%5E%7Bn-1-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7Bi%2B1%7D%7Bn%7D%20%7Bn-1%5Cchoose%20i%7Dx%5Ei(1-x)%5E%7B(n-1)-i%7D%5C%5C%0A%26%3Dx%5Cbigg(%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn-1%7D%20B_i%5E%7Bn-1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20B_i%5E%7Bn-1%7D%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3Dx(%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7D%20B_%7Bn-1%7D(x%3Bx)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dx%20%20%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

现在，我们来看看利用这两个简单函数的Bernstein多项式，能够做出什么样的东西来。

我们很容易就能够得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AB_n(f%C2%B1g%3Bx)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20(f%C2%B1g)(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)B_i%5En(x)%5Cbigg)%C2%B1%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20g(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5Cbigg)%20%5C%5C%0A%26%3DB_n(f%3Bx)%C2%B1B_n(g%3Bx)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

于是，我们可以尝试利用组合的方式来得到一些结果。比如说：

$B_n(nx%5E2-x%3Bx)%2BxB_n(x%3Bx)%3Dnx%5E2$

现在来看我们需要做怎样的组合来帮助我们证明任意连续函数都能够被多项式逼近。

我们提到过，我们证明这一问题的思路是采用我们之前常用的方法，很多时候我们称之为拟合法，大致思路就是：

也就是说通过构造类似的序列来与已知序列形式接近，从而简化证明。

为了完整的证明这一定理，我们接下来要对等号右侧的绝对值进行深入讨论。首先，由前面我们所说过的，函数 $f$ 一定连续，因此其在 $%5B0%2C1%5D$ 上一定一致连续。因此就有：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20(x%2Cy%5Cin%20%5B0%2C1%5D%3B%7Cx-y%7C%EF%BC%9C%5Cdelta)%20%EF%BC%8C%7Cf(x)-f(y)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

取 $y%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20$ ，则有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%7C%20f(x)-B_n(f%3Bx)%7C%26%3D%5Cbigg%7C%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(x)B_i%5En(x)-%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)B_i%5En(x)%5Cbigg%7C%5C%5C%0A%26%3D%5Cbigg%7C%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20(f(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D))B_i%5En(x)%5Cbigg%7C%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_%7BA%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%2B%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20%2B%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20)%7CB_i%5En(x)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

其中，有：

$A%3D%5C%7Bi%5Cin%20N%5E*%3A%5Cbigg%7C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cdelta%20%20%5C%7D%EF%BC%8CB%3D%5C%7Bi%5Cin%20N%5E*%3A%5Cbigg%7C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg%7C%5Cge%20%5Cdelta%20%20%5C%7D$

对于第二项，由于 $f$ 在区间 $%5B0%2C1%5D$ 上连续，则有：

$%7Cf(x)%7C%5Cle%20M%5CRightarrow%20%7Cf(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)-f(x)%7C%5Cle%202M%20$

于是，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)%7CB_i%5En(x)%26%5Cle%20%20%5Csum_%7BB%7D%202MB_i%5En(x)%5C%5C%26%5Cle%20%5Csum_%7BB%7D%20%5Cfrac%7B2M%7D%7B%5Cdelta%20%7D%5Cbigg%7C%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg%7CB_i%5En(x)%20%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

但是，由于放缩最右侧出现了绝对值，不便于我们继续讨论，所以我们要想办法去掉绝对值。最为简单直白的做法就是：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7BB%7D%20%7Cf(x)-f(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D)%7CB_i%5En(x)%26%5Cle%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%202MB_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Cunderline%20%7B%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7B2M%7D%7B%5Cdelta%20%5E2%7D%5Cbigg(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg)%5E2B_i%5En(x)%7D%20%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

那我们就研究一下最右侧的项，看看能否使用例1和例2的结果组合出好的放缩结果：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D-x%5Cbigg)%5E2%20B_i%5En(x)%26%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%0A%5Cfrac%7Bi%5E2%7D%7Bn%5E2%7DB_i%5En(x)-2x%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20B_i%5En(x)%2Bx%5E2%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En%20B_i%5En(x)%5C%5C%0A%26%3D%20B_n(x%5E2%3Bx)-2xB_n(x%3Bx)%2Bx%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bn-1%7D%7Bn%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dx%20-2x%5E2%20%2Bx%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20x(1-x)%5C%5C%0A%26%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

于是，就有：

$%7Cf(x)-B_n(x)%7C%5Cle%20%5Cvarepsilon%20%2B%5Cfrac%7B%20M%7D%7B2n%5Cdelta%20%5E2%7D%20$

令：

$N%3D%5Cbigg%20%5B%20%5Cfrac%7BM%7D%7B2%5Cvarepsilon%20%5Cdelta%20%5E2%7D%5Cbigg%5D%2B1%20$

则有：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8C%7Cf(x)-B_n(x)%7C%EF%BC%9C2%5Cvarepsilon%20.$

进一步，对于定义在区间 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的函数 $f$ ，只要对函数：

$g(t)%3Df(a%2Bt(b-a))%3Dg(%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Bb-a%7D)%3Df(x)%20%20%5Cquad%20(t%5Cin%5B0%2C1%5D)$

用其Bernstein多项式 $B_n(g%3Bt)$ 一致逼近，就能得到：

$B_n(f%3B%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Bb-a%7D%20)%5Crightarrow%20f(x)%5Cquad%20(n%5Crightarrow%20%E2%88%9E)$

这就说明函数 $f$ 的Bernstein多项式能够一致逼近函数本身。于是我们就有：

任意定义在有限闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近。

（Weierstrass逼近定理）

不过，我们需要指出的是，用Bernstein多项式去逼近函数，很多时候收敛速度是很慢的，这是保证了任意且一致逼近所牺牲掉的部分，这也导致了这一逼近方式对于数值计算的意义就不是很大了。但是，很多时候，Bernstein多项式能够展现出惊人的实用性，体现在很多构造上。至于数值计算，就数学分析而言，本来也不怎么在我们的研究范畴里。

思考：

将下列函数展开成Maclaurin级数：

（1） $e%5E%7Bx%5E2%7D$ ；

（2） $(1%2Bx)%5Cln%20(1%2Bx)$ ；

（3） $(1%2Bx%5E2)%5Carctan%20x$ ；

（4） $%5Carcsin%20x$ ；

（5） $%5Cint_0%5Ex%20%5Cfrac%7B%5Csin%20t%7D%7Bt%7D%20%5Ctext%20dt$
证明：设函数 $f$ 及其所有导数在区间 $%5B0%2Cr%5D$ 上都是非负的，则 $f$ 能在 $%5B0%2Cr%5D$ 上展开成Maclaurin级数：

$f(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(0)%7D%7Bn!%7Dx%5En%20%5Cquad%20(0%5Cle%20x%EF%BC%9Cr)$
证明：Bernstein的保形性质：

（1）

$B_n(f%3Bx)%3Df(0)%EF%BC%8CB_n(f%3B1)%3Df(1)$ ；

（2） $f$ 与 $B_n(f)$ 保持相同的正（负）定性；

（3） $f$ 与 $B_n(f)$ 保持相同的单调性；

（4）若 $f$ 是凸函数，则 $B_n(f)$ 也是凸函数。