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最大模原理的推广

2022-06-24 21:06 作者:子瞻Louis  | 我要投稿

已收录至文集《分析》

话不多说了,直接开始叭

Phragmén-Lindelöf方法

在复分析中,有这么个随处可见的东西:

(最大模原理)设 %5COmega%5Csubseteq%5Cmathbb%20C 为一有界的开集, 若 f%5Cin%20H(%5COmega) 且它在 %5Cbar%5COmega 上连续,则对任意的 s%5Cin%5COmega 都有

%7Cf(s)%7C%5Cle%5Cmax_%7Bz%5Cin%5Cpartial%5COmega%7D%7Cf(z)%7C

上式取等当且仅当 f 是常函数.

咱们用它可以实际上可以知道在 %5Cbar%5COmega 上连续的函数 f%5Cin%20H(%5COmega) ,若在 %5Cpartial%5COmega 总有 %7Cf%7C%5Cle%20M ,那么在整个 %5COmega 内都有 %7Cf%7C%5Cle%20M但是,如果 f 在 %5Cpartial%20%5COmega 上至少有一个点不连续(这个点可以是无穷远点),结论当然不再成立. 不过其实如果考虑在 f 上附加一些,那么结论可以保留. 首先呢,让我们来看一个例子:设 f 在整个复平面上解析,且对所有 s%5Cin%5Cmathbb%20C 都有

%7Cf(s)%7C%5Cll%20%5Csqrt%7B%7Cs%7C%7D

由于 f 在复平面内解析,所以对 %7Cs%7C%5Cle%20R(R%3E0) 有Taylor展开

f(s)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_ns%5En

由Cauchy积分公式,可得对 n≥1 ,

%5Cbegin%7Balign%7D%7Ca_n%7C%3D%5Cleft%7C%5Cfrac1%7Bn!%7Df%5E%7B(n)%7D(0)%5Cright%7C%26%3D%5Cleft%7C%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Coint_%7B%7Cz%7C%3DR%7D%5Cfrac%7Bf(z)%7D%7Bz%5E%7Bn%2B1%7D%7D%5Cmathrm%20dz%5Cright%7C%5C%5C%26%5Cle%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B%7Cf(Re%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7C%7D%7BR%5En%7D%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%5C%26%5Cll%5Cfrac%7B%5Csqrt%7BR%7D%7D%7BR%5E%7Bn%7D%7D%5Cxrightarrow%7BR%5Cto%5Cinfty%7D0%5Cend%7Balign%7D

这也就是说它实际上是个常函数.

通过这个例子,可以看出有时通过让 f 增长速度被另一个函数限制也可以推出它的有界性,这也正是Phragmén-Lindelöf原理的思路,下面我们就来实际操作一下.

取一块复平面上的带型区域

D%3D%5C%7Bs%5Cin%5Cmathbb%20C%7Ca%3C%5CRe(s)%3Cb%5C%7D

令 f%5Cin%20H(D) 且在其闭包 %5Cbar%20D 连续,假设某个常数 M 满足 

%7Cf(a%2Bi%5Ctau)%7C%5Cle%20M%2C%7Cf(b%2Bi%5Ctau)%7C%5Cle%20M%5Cquad%20%7C%5Ctau%7C%5Cge1 

下面考虑限制它在 D 内的增长速度,通常希望限制它的函数尽可能简单,一般所考虑的会是个幂函数或者对数函数又或者幂函数和对数函数的乘积,不过这些函数的增速总的来说都是慢于任何指数函数的,所以这里不妨考虑对任意 δ>0 和绝对值足够大的 s 都有

f(s)%5Cll_%5Cdelta%20e%5E%7B%5Cdelta%7Cs%7C%7D

在带型区域上考虑,我们所关心的是 s 的虚部对 f 的影响,因此 s 的实部是多少并不重要. 记 s%3D%5Csigma%2Bi%5Ctau 来表示它的实部和虚部,由于 |τ|≥1 时

%7C%5Ctau%7C%5Cle%7Cs%7C%3D%7C%5Ctau%7C%5Csqrt%7B1%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Csigma%7D%7B%5Ctau%7D%5Cright)%5E2%7D%5Cll%7C%5Ctau%7C

所以此时实际上有

f(s)%5Cll_%5Cdelta%20e%5E%7B%5Cdelta%7Cs%7C%7D%5CLeftrightarrow%20f(s)%5Cll_%5Cdelta%20e%5E%7B%5Cdelta%7C%5Ctau%7C%7D

这样一来就可以忽略掉 s 的实部辽. 然后现在来理一下条件.

  1.  f 是带型区域 %5Cbar%20D 上连续且在其内部解析的函数;

  2.  %5Cforall%20%5Cdelta%3E0%2C%5Cquad%20f(s)%5Cll_%5Cdelta%20e%5E%7B%5Cdelta%7C%5Ctau%7C%7D%2C%5Cquad%20s%5Cin%20D%2C%7C%5Ctau%7C%5Cge1 ;

  3. %5Cforall%20%5Ctau%5Cin%5Cmathbb%20R%2C%5Cquad%20%7Cf(a%20%2Bi%5Ctau)%7C%5Cle%20M%2C%7Cf(b%2Bi%5Ctau)%7C%5Cle%20M . 

(定理1)存在正的常数 B%5Cge%20M 使得 %7Cf(s)%7C%5Cle%20B%2C%5Cquad%20s%5Cin%20D%2C%7C%5Ctau%7C%5Cge1

证明:首先讨论 %5Ctau%3E0 的情况. %5Ctau%3D1 时,假设对常数 B 有

%7Cf(%5Csigma%2Bi)%7C%5Cle%20B

其中 a%3C%5Csigma%3Cb . 令 %5Csigma%5Cto%20a(%5Ctext%7Bor%7D%5C%20b) ,则由 f 的连续性可知必有 B%5Cge%20M . 

接下来令 g(s)%3Df(s)e%5E%7B2i%5Cdelta%20s%7D ,由条件可知对某个常数 C%3DC(%5Cdelta)%3EB ,满足

%7Cg(s)%7C%5Cle%20Ce%5E%7B-%5Cdelta%5Ctau%7D%2C%5Cquad%20a%3C%5Csigma%3Cb%2C%5Ctau%5Cge1

任取一充分大的正实数 T ,令 %5Cdelta%3D%5Cfrac1%7BT%7D%5Cln%5Cfrac%20CB%3E0 ,则当 %5Ctau%5Cge%20T

%7Cg(s)%7C%5Cle%20B

这说明对任意 T'%5Cge%20T ,由 a%5Cle%5Csigma%5Cle%20b%2C1%5Cle%5Ctau%5Cle%20T' 围成的矩形的边界上有 %7Cg%7C%5Cle%20B 用最大模原理即可说明在其内部也有 %7Cg%7C%5Cle%20B ,令 T%5Cto%5Cinfty 即可知

%7Cg(s)%7C%5Cle%20B%2C%5Cquad%20s%5Cin%20D%2C%7C%5Ctau%7C%5Cge1

也就是

%7Cf(s)%7C%5Cle%20Be%5E%7B2%5Cdelta%20t%7D%2C%5Cquad%20s%5Cin%20D%2C%7C%5Ctau%7C%5Cge1

由此令 %5Cdelta%5Cto0 即可;而对 τ 小于零的情况类似可证. 

%5Csquare

可以看出该定理运用了通过将解析函数乘以另一个解析函数,由最大模原理推出在有限区域内的上界再推广到无界区域上的方法,这就是Phragmén-Lindelöf方法

Hadamard三圆定理

下面先给出最大模原理在带型区域上的另一种推广,上一种推广仅仅是推出了有界性,而下面的推广给出了在有界的情况下内部的上界的与边界的上界间的关系

同样考虑带型区域

D%3D%5C%7Bs%5Cin%5Cmathbb%20C%7Ca%3C%5CRe(s)%3Cb%5C%7D

以及令 f%5Cin%20H(D) 且在其闭包 %5Cbar%20D 连续,设在 D 中有 %7Cf%7C%3CA ,记

m(%5Csigma)%3A%3D%5Csup_%7B%5Ctau%5Cin%5Cmathbb%20R%7D%7Cf(%5Csigma%2Bi%5Ctau)%7C

那么首先这里先用Phragmén-Lindelöf方法证明一个引理:

(引理) 在上述条件下,若 m(a)%3Dm(b)%3D1 ,则在 D 内有 %7Cf%7C%5Cle1 .

证明:令 %5Cvarepsilon%3E0 为任意正实数,定义

h_%5Cvarepsilon(s)%3D%5Cfrac1%7B1%2B%5Cvarepsilon(s-a)%7D

由于在 %5Cbar%20D 上有 %7C1%2Fh_%7B%5Cvarepsilon%7D(s)%7C%5Cge%5CRe%5C%7B1%2B%5Cvarepsilon(s-a)%5C%7D%5Cge1 ,因此

%7Cf(s)h_%5Cvarepsilon(s)%7C%5Cle1%2C%5Cquad%20s%5Cin%5Cpartial%20D

接着构造个矩形

%5CSigma%3D%5Cleft%5C%7Bs%5Cin%5Cbar%20D%5Cleft%7C-%5Cfrac%7BA%7D%5Cvarepsilon%5Cle%20%5Ctau%5Cle%5Cfrac%7BA%7D%5Cvarepsilon%5Cright%5C%7D%5Cright.

有 %7C1%2Fh_%7B%5Cvarepsilon%7D(s)%7C%5Cge%7C%5CIm%5C%7B1%2B%5Cvarepsilon(s-a)%5C%7D%7C%3D%5Cvarepsilon%20%7C%5Ctau%7C ,所以

%7Cf(s)h_%5Cvarepsilon(s)%7C%5Cle%5Cfrac%7BA%7D%7B%5Cvarepsilon%7C%5Ctau%7C%7D%2C%5Cquad%20s%5Cin%5Cbar%20D

由此在 %5Cpartial%5CSigma 上有 %7Cfh_%5Cvarepsilon%7C%5Cle1 ,根据最大模原理可知在 Σ 内也有 %7Cfh_%5Cvarepsilon%7C%5Cle1 ,而在其余部分上也有 %7Cfh_%5Cvarepsilon%7C%5Cle%5Cfrac%7BA%7D%7B%5Cvarepsilon%7C%5Ctau%7C%7D%3C1 ,所以 %5Cforall%20s%5Cin%20%5Cbar%20D%2C%7Cf(s)h_%5Cvarepsilon(s)%7C%5Cle1 ,令 %5Cvarepsilon%5Cto0 即可得证.

%5Csquare

现在回到一般情况,令

%5Cpsi%20(s)%3D%5Cfrac%7Bb-s%7D%7Bb-a%7D%5Clog%20m(a)%2B%5Cfrac%7Bs-a%7D%7Bb-a%7D%5Clog%20m(b)

显然它在整个 %5Cbar%20D 内解析,且有

%7C%5Cexp%5Cpsi(a%2Bi%5Ctau)%7C%3DM(a)%2C%7C%5Cexp%5Cpsi(b%2Bi%5Ctau)%7C%3DM(b)

因此 %7Cf%2F%5Cexp%5Cpsi%7C 满足引理的假设, 所以在 D 内有 %7Cf%7C%5Cle%7C%5Cexp%5Cpsi%7C ,也就是说

%5Clog%20m(%5Csigma)%5Cle%20%5Cfrac%7Bb-%5Csigma%7D%7Bb-a%7D%5Clog%20m(a)%2B%5Cfrac%7B%5Csigma-a%7D%7Bb-a%7D%5Clog%20m(b)

现在作代换 z%3De%5Es ,带型区域 D 就变为了一个圆环

R%3D%5C%7Bz%7Cr_1%3C%7Cz%7C%3C%20r_2%5C%7D 

其中 r_1%3De%5Ea%2Cr_2%3De%5E%20b 定义

F(z)%3Df(s)%2CM(r)%3D%5Csup_%7B%7Cz%7C%3Dr%7D%7CF(z)%7C

易知 F 在圆环 R 上解析且在 %5Cbar%20R 上连续,且有 %7CF%7C%3C%20A ,所以可以直接得到如下定理:

(Hadamard三圆定理)若 F 满足上诉条件,则有

%5Clog%20M(r)%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Clog%20r_2-%5Clog%20r%7D%7B%5Clog%20r_2-%5Clog%20r_1%7D%5Clog%20M(r_1)%2B%5Cfrac%7B%5Clog%20r-%5Clog%20r_1%7D%7B%5Clog%20r_2-%5Clog%20r_1%7D%5Clog%20M(r_2)

 当然也可以对它取幂得到封面的形式

差不多辽,收工.

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