电路学习笔记71——非正弦周期函数分解为傅里叶级数

13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数

1. 非正弦周期函数

(1) 非正弦周期交流信号的特点：不是正弦波；按周期规律变化。

(2) 非正弦周期交流信号可用周期函数f(t)=f（t+nT）表示,其中T为周期，n为自然数。

(3) 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄里赫利条件，可以展开成收敛的傅里叶级数。

 2. 周期函数展开为傅里叶级数

(1) 周期函数f(t)展开成收敛的傅里叶级数的两种形式，以及它们之间的关系如图,其中ω1=2π/T。

(2) 傅里叶级数是一个无穷三角级数。第1项A0/2称为f(t)的恒定分量（或直流分量）；第2项A1m*cos(ωt+φ1)称为1次谐波（或基波）；其它项Akm*cos(kωt+φk)称为k次谐波。

(3) 将一个周期函数展开成或分解为一系列谐波之和的傅里叶级数称为谐波分析。

(4) 当n=k时，傅里叶级数中系数ak（k=0,1,2…）的表达式如图。

 (5) 当n=k时，傅里叶级数系数bk（k=1,2…）的表达式如图。

(6) 频谱函数Akm*e^(jφk)的表达式如图。

(7) 一般用线段的高度表示各次谐波振幅，画出Akm-kω1的图形,这种图形称为幅度频谱（图）；用同样的方法画出φk-kω1的图形，称为相位频谱（图）。一般所说的频谱（图）指的是幅度频谱。它提供一种从谐波的幅度和谱线密度两个方面研究函数f(t)的频率特性的图像方法。

 3. 简化系数的求解

(1) 由函数的对称性简化系数的求解

①　偶函数的图形具有纵轴对称的性质，即f(t)=-f(t)，故bk=0，φk=0，即级数展开式中不含sin项（奇函数）。

②　奇函数的图形关于原点对称，即f(t)=-f(-t)故ak=0，即级数展开式中不含零项和cos项（偶函数）。

③　奇谐波函数具有镜像对称性质，即该波形移动半周期后与横轴对称，即f(t)=-f(t+T/2)，故a2k=b2k=0，即级数展开式不含偶次谐波。

(2) 任意一个非正弦周期函数都可以分解为一个偶函数和一个奇函数之和，即f(t)=fe(t)+fo(t)，其中fe(t)=1/2[f(t)+f(-t)],fo(t)=1/2[f(t)-f(-t)]

(3) Akm与计时起点无关，而φk与计时起点有关。由于ak和bk与φk有关，因此它们也随计时起点变动而变动，函数的奇偶性也不同，但函数是否为奇谐波函数与计时起点无关。因此适当选择计时起点有时会使函数的级数展开式简化。

(8) 在实际运算看，把一个非正弦周期函数分解为傅里叶级数后，只能截取有限的项数，而截取项数的多少，要根据级数的收敛速度和电路的频率特性两个方面的情况来定。

 例1：周期性方波信号的分解