二维仿射坐标系内求过两点直线的一般式方程的最快算法（确信）

今天化学课我偷偷看丘维声的《解析几何》，接着之前看到的射影几何部分，突然想到这个玩意；我有点怀疑人生，因为我之前居然没想到这么算直线方程最简单......这是我最纳闷的地方，大概我确实学傻了。

省流：已知两点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，直线MN的方程为Ax+By+C=0

取向量(x₁,y₁,1),(x₂,y₂,1)进行叉乘，叉乘结果就是一组(A,B,C)

这样就求出直线方程了。

原理：三个向量混合积为0，则它们共面。

已知平面坐标系内的两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)（仿射坐标都行），下面是求一般方程的傻瓜式操作：

首先改写两点坐标，增加第三个坐标："1"

即A(x₁,y₁,1),B(x₂,y₂,1)

把A和B的坐标横着写两遍，并竖着对齐排列：

再去掉首列和尾列

输出三组数的交叉相乘结果，写成三维坐标

让它和向量(x,y,1)点乘，输出结果即为所求

最后输出的结果和普通方法求的当然是一样的了，字母运算看不出什么，重要的是这样求具体直线的时候速度很快，给个示例，这坐标是我随便给的：

如果按照传统的设y=kx+b然后算的话，最后再改写成一般式，挺麻烦的。

反正我从来没那样设斜截式算过，我以前的算法是这样的：

直线的一般式方程为Ax+By+C=0，其中(A,B)就是此直线的一个法向量

那么和这个法向量模相等的方向向量就是(-B,A)和(B,-A)

在已知两点坐标的情况下，先确定方向向量并且化到最简，然后再直接得到法向量

（例：如果那么得到直线MN的最简方向向量是(1,2)，法向量取用(2,-1)即可）

此时待求的只有C，直线方程写成(A,B)·(x,y)+C=0

随便找一个已知点代入到(x,y)的位置

C就求出来了。

不过我今天写的这个算法要更快一些。

现在解释原理：

对于xOy平面内的直线MN，和直线上一点P(x,y)

当MN和P被投影到三维坐标系的平面z=1时，记成M'(x₁,y₁,1),N'(x₂,y₂,1)，P'(x,y,1)

现在考虑向量的混合积

因为它们是共面的，所以混合积为0

按照混合积公式有

展开之后其实就是结果。

当然这里的行列式求值把叉乘求值包括进去了，我建议是叉乘单独算，不用几秒就能算出来，而不是列个三阶行列式再展开。