很水的数学分析110：度量空间的完备化

一、收尾上一节：

1.内积空间⊂赋范空间⊂线性空间⊂度量空间⊂拓扑空间。

2.由‖fn-g‖∞=max｜fn(x)-g(x)｜=sup｜fn(x)-g(x)｜，可见L∞度量主要用来定义函数列一致收敛。（下节课会用到）

二、空间的完备化

1.Dedekind分割、确界原理、单调有界定理、闭区间套定理依赖序关系，无法推广。

Heine—Borel定理、Bolzano—Weierstrass定理、Cauchy原理更加重要，可以推广。

（再次体现带人名的定理重要，尤其是带两个人名的）

2.一般的度量空间中，Cauchy列未必收敛。若X中任一Cauchy列都收敛，则X完备。

3.度量空间中，收敛的点列一定是Cauchy列，Cauchy列未必收敛，但一定有界。

4.完备化

三、引出等价度量。

思路就是让d和d'在X中Cauchy列相同，并且保证等价关系成立。