三角形面积与内接圆半径（《几何原本》命题4.4批注）【夸克欧氏几何】

海伦公式

     海伦（Heron of Alexandria，公元62年左右，生平不详），古希腊数学家、力学家、机械学家。

约公元62年活跃于亚历山大，他评论过《几何原本》，但这些作品后来都失传了。

1896年被发现的《Metrica》中出现了一种海伦公式的证明方法，该公式指出S△ABC=√s(s-a)(s-b)(s-c)，其中a=BC，b=AC，c=AB，s=（a+b+c)/2，阿基米德也许知道这一公式，但我们没有证据。

这里，我们只看看前面关于内接圆的部分：

设：

点D为圆ABC的圆心，DE,DF,DG为边上的垂线（像欧几里得证明中那样），这三条线长度为r

∵AB⊥DE

∴S△ABD=AB·r/2

同理S△BCD=BC·r/2，S△ACD=AC·r/2

∴S△ABC=rs

这是一个有趣的结论

现在我们不管海伦的证明，来看看外接圆

设：

点A'为圆ABC的圆心，A'E’,A'F’,A'G’为边上的垂线（像欧几里得证明中那样），这三条线长度为rA

∵AB⊥A'E’

∴S△ABA'=AB·rA/2

同理S△A'BC=BC·rA/2，S△ACA'=AC·rA/2

∴S△ABC=rA（AB+AC-BC)/2

∴S△ABC=rA（AB+AC+BC-2BC)/2

∴S△ABC=rA（s-a)

同理S△ABC=rs =rA(s–a) =rB(s–b) =rC(s–c)

这些半径之间还有其它的关系

例如：

1/r = 1/rA + 1/rB + 1/rC,