郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

立体几何有一个神奇的体积公式叫似柱状体积公式（prismoidal formula）：

其中 是似柱状的高、 是上底面积、 是中截面面积、 是下底面积。

使用似柱状体积公式（prismoidal formula）来推导以下立体形状的体积：

（1）立方体（Cube）
（2）抛物面（Paraboloid）
（3）球体（Sphere）
（4）牟合方盖（Bicylinder）

【题解】

（1）立方体

设立方体的边长为 。立方体的上底、中截面、下底是等面积的正方形，所以，。

（2）抛物面

设 为抛物面的高。 抛物面的下底是一个半径为 的圆，上底是没有面积的点。从

抛物面的体积 发现了抛物面横截面的半径函数是

在 ，中截面的半径是 ，所以中截面面积是 。

（3）球体

设 为球体的半径。 上底、下底都是没有面积的点；因此，。 中截面是圆，其面积是 。

（4）牟合方盖

设牟合方盖的高和中截面边长为 。牟合方盖的上底、下底都是没有面积的点，所以， 。中截面是一个正方形，其面积为 。