“复变函数”形考任务5

（各章综合练习书面作业）

计算及证明题（每小题10分，共计100分）

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复变函数的极限和连续性

函数的极限

定义

  设函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)定义在z0z_0z0的去心邻域0<∣z−z0∣<ρ0<|z-z_0|<\rho0<∣z−z0∣<ρ内。如果有一确定的数AAA存在，对于任意给定的ε>0\varepsilon>0ε>0，相应地必有一正数δ(ε)(o<δ≤ρ)\delta(\varepsilon)(o<\delta\leq\rho)δ(ε)(o<δ≤ρ)，使得当o<∣z−z0∣<δo<|z-z_0|<\deltao<∣z−z0∣<δ时有
          ∣f(z)−A∣<ε|f(z)-A|<\varepsilon∣f(z)−A∣<ε
那么称AAA为f(z)f(z)f(z)当zzz趋向于z0z_0z0时的极限，记作lim⁡z−z0f(z)=A\lim\limits_{z-z_0}f(z)=Az−z0limf(z)=A，或记作当z→z0z\to z_0z→z0时，f(z)→Af(z)\to Af(z)→A
定义中zzz趋向于z0z_0z0的方式是任意的

定理一

  设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0A=u_0+iv_0A=u0+iv0，z0=x0+iy0z_0=x_0+iy_0z0=x0+iy0，那么lim⁡z−z0f(z)=A\lim\limits_{z-z_0}f(z)=Az−z0limf(z)=A的充要条件是
      lim⁡y→y0x→x0u(x,y)=u0\lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}u(x,y)=u_0y→y0x→x0limu(x,y)=u0，lim⁡y→y0x→x0v(x,y)=v0\lim\limits_{ ^{x \to x_0 }_{ ^{y \to y_0}}}v(x,y)=v_0y→y0x→x0limv(x,y)=v0

定理二

  如果lim⁡z→z0f(z)=A\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=Az→z0limf(z)=A，lim⁡z→z0g(z)=B\lim\limits_{z\to z_0}g(z)=Bz→z0limg(z)=B，那么

1. lim⁡z→z0[f(z)±g(z)]=A±B\lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=A\pm Bz→z0lim[f(z)±g(z)]=A±B

2. lim⁡z→z0f(z)g(z)=AB\lim\limits_{z\to z_0}f(z)g(z)=ABz→z0limf(z)g(z)=AB

3. lim⁡z→z0f(z)g(z)=AB\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}z→z0limg(z)f(z)=BA (B≠0)(B\neq 0)(B=0)

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