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极值理论对样本尾部分布的极值指数的估计方法主要有两类：半参数方法和全 参数方法，前者主要是基于分布尾部的 Hill 估计量，后者则主要基于广义帕累托分布。

尾部指数的希尔HILL统计量估计。更具体地说，我们看到如果 

， 和 

，然后希尔HILL估计为 

 

 

。 然后 

 在某种意义上满足某种一致性 

 ,如果 

，即 

 （在收敛速度的附加假设下， 

）。此外，在附加的技术条件下

为了说明这一点，请考虑以下代码。首先，让我们考虑一个帕累托生存函数，以及相关的分位数函数

1. 


2. > Q=fuction(p){unro(funion(x) S(x)-(1-p),loer=1,per=1e+9)$root}

我们将考虑更复杂的生存函数。这是生存函数和分位数函数，

1. 


2. > plot(u,Veie(Q)(u),type="l")

在这里，我们需要 分位数函数从这个分布中生成一个随机样本，

1. 


2. > X=Vectorize(Q)(runif(n))

hill统计量在这里

1. 


2. > abline(h=alpha)

3. 


4. 


我们现在可以生成数千个随机样本，并查看这些估计器（对于某些特定的 

的）。

1. 


2. > for(s in 1:ns){

3. + X=Vectorize

4. + H=hill

5. + hilk=function(k)

6. + HilK[s,]=Vectorize

7. + }

如果我们计算平均值，

> plot(15*(1:10),apply(2,mean)

我们得到了一系列可以被认为是无偏的估计量。

现在，回想一下，处于 Fréchet 分布并不意味着 

， 和 

, 但意味着

对于一些缓慢变化的函数 

，不一定恒定！为了了解可能发生的情况，我们必须稍微具体一些。这只能通过查看生存函数的性质。假设，这里有一些辅助函数 

 

这个（正）常数 

 以某种方式与生存函数与幂函数之比的收敛速度有关。

更具体地说，假设

然后，使用获得二阶正则变化性质 

，然后，如果 

 趋向于无穷大太快，那么估计就会有偏差。 如果 

，那么，对于一些 

,

这个结果的直观解释是，如果 

 太大，并且如果基础分布不完全 是帕累托分布，那么希尔估计量是有偏的。这就是我们所说的意思

• 如果 

•  太大， 

•  是有偏估计量

• 如果 

•  太小， 

•  是一个不稳定的估计量

（后者来自样本均值的属性：观察越多，均值的波动性越小）。

让我们运行一些模拟以更好地了解正在发生的事情。使用前面的代码，生成具有生存函数的随机样本实际上是极其简单的

1. 


2. > Q=function(p){uniroot(function(x) S(x)-(1-p)}

如果我们使用上面的代码。

希尔hill变成

1. 


2. 


3. > abline(h=alpha)

4. 


5. 


但它仅基于一个样本。再次考虑数千个样本，让我们看看 Hill 统计量如何，

所以这些估计量的（经验）平均值是

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