《美丽心灵》与“纳什均衡”——耿少川

《美丽心灵》与“纳什均衡”

   

l  初一8班 耿少川

假期里，我跟父母共同观看了一部电影《美丽心灵》，让我非常震撼，久久不能忘怀。这是一部关于一位伟大数学家的人物传记片，讲述一位患有精神分裂症，却在潜心研究数学，最终获得诺贝尔经济学奖的数学家——约翰·福布斯·纳什的传奇一生。

一、关于影片

纳什以优异的成绩考入了普林斯顿大学，他不爱结交朋友，只有他的舍友和他亲密无间，他的舍友还有一个小侄女，非常可爱。后来的冷战期间，纳什遇到了一名密探，密探委托他为美国解析密码，为国家做出贡献。但是后来的真相却十分残酷，他被别人告知自己患有严重的精神分裂症，舍友、室友侄女还有密探都是不存在的人物。他虽然知道，但是却始终无法说服自己相信事实。他病情严重，在饱受各种治疗的折磨后，医生已经放弃了他。当一直深爱他的妻子也要离他而去的时候，在那一刻，理性的思维让纳什幡然醒悟，舍友和侄女从来没有变老！他们一直都是充满年轻与活力。他冲向外面即将离去的车前，对车内的妻子大喊：“我知道了！他们不是真的！他们从来没有变老！”

纳什自己救了自己。他用强大的精神打败了精神病！作为一名数学家，纳什在精神世界破败不堪的时候，从来都没有放弃过自己的理性思维，他用理性的分析打败了让自己不理性的病症，证明了自己的舍友不是真实存在的，并且拯救了自己的现实世界。

后来，在他的妻子的全力的支持下，纳什凭借强大的理性思维自己学会了如何与那些虚幻的舍友和侄女以及密探和平相处，也凭借着强大的理性思维创造了博弈论中著名的“纳什均衡”，对数学界和军事界产生了重大的影响，说是影响了20世界世界发展的进程一点也不为过。最终纳什获得了诺贝尔奖。甚至在他上台领奖的时候，舍友和侄女以及密探都在一旁看着他。

我真的是被深深震撼了，《美丽心灵》前言有一段话，“如果真的有平行宇宙的话，那么肯定有几个宇宙的你是非常成功的商业大亨，有的是成就卓越的科学家，有的是靠双手救人生命的天使医生。也就是说，在浩瀚的宇宙中，能给你自己压力的，只有更好的自己，只是看你是否想达成自己的目标，除此之外，没有任何人能够左右你坚定的意志。”

二、关于博弈论和“纳什均衡”

也是通过这部影片，让我试图想去了解博弈论，了解“纳什均衡”。我查询了一些资料。

（一）博弈论

博弈论，又称为对策论（Game Theory）、赛局理论等，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。在金融学、证券学、生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。

博弈论的发展过程：

博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的目的。博弈论思想古已有之，中国古代的《孙子兵法》等著作就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论著作。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展。

博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。1928年，冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理；1944年，冯·诺依曼和摩根斯坦共著划时代巨著《博弈论与经济行为》，将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统地应用于经济领域。

1950年～1951年，约翰·福布斯·纳什利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什的开创性论文《n人博弈的均衡点》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。博弈论已发展成一门较完善的学科。

（二）纳什均衡

纳什均衡（Nash Equilibrium）：在一策略组合中，所有的参与者面临这样一种情况，当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。也就是说，此时如果他改变策略他的支付将会降低。在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。纳什均衡点存在性证明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。

听起来有点抽象，我们可以尝试着去了解一些应用，看一些案例，也许就觉得离我们没有那么遥远。

案例一：囚徒困境

在博弈论中，含有占优战略均衡的一个著名例子是由塔克给出的“囚徒困境”（prisoner's dilemma）博弈模型。该模型用一种特别的方式为我们讲述了一个警察与小偷的故事。假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪，各被判刑8年；如果只有一个犯罪嫌疑人坦白，另一个人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。下表给出了这个博弈的支付矩阵。

A╲B 坦白 抵赖

坦白 8，8 0，10

抵赖 10，0 1，1

对A来说，尽管他不知道B作何选择，但他知道无论B选择什么，他选择“坦白”总是最优的。显然，根据对称性，B也会选择“坦白”，结果是两人都被判刑8年。但是，倘若他们都选择“抵赖”，每人只被判刑1年。在表2.2中的四种行动选择组合中，（抵赖、抵赖）是帕累托最优，因为偏离这个行动选择组合的任何其他行动选择组合都至少会使一个人的境况变差。但是，“坦白”是任一犯罪嫌疑人的占优战略，而（坦白，坦白）是一个占优战略均衡，即纳什均衡。

案例二：智猪博弈

经济学中的“智猪博弈”，这个例子讲的是：假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应的按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本，若小猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是6∶4；同时到槽边，大小猪收益比是7∶3；大猪先到槽边，大小猪收益比是9∶1。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果是小猪选择等待。"智猪博弈"由纳什于1950年提出。实际上小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择“坐船”（或称为搭便车）的原因很简单：在大猪选择行动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到4个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅可以获得大猪吃剩的1个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小猪如果行动的话，小猪的收入将不抵成本，纯收益为-1单位，如果小猪也选择等待的话，那么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。

用博弈论中的报酬矩阵可以更清晰的刻画出小猪的选择：

大猪/小猪 行动 等待

行动 5，1 4，4

等待 9，-1 0，0

从矩阵中可以看出，当大猪选择行动的时候，小猪如果行动，其收益是1，而小猪等待的话，收益是4，所以小猪选择等待；当大猪选择等待的时候，小猪如果行动的话，其收益是-1，而小猪等待的话，收益是0，所以小猪也选择等待。综合来看，无论大猪是选择行动还是等待，小猪的选择都将是等待，即等待是小猪的占优策略。在小企业经营中，学会如何“搭便车”是一个精明的职业经理人最为基本的素质。在某些时候，如果能够注意等待，让其他大的企业首先开发市场，是一种明智的选择。这时候有所不为才能有所为。高明的管理者善于利用各种有利的条件来为自己服务。“搭便车”实际上是提供给职业经理人面对每一项花费的另一种选择，对它的留意和研究可以给企业节省很多不必要的费用，从而使企业的管理和发展走上一个新的台阶。这种现象在经济生活中十分常见，却很少为小企业的经理人所熟识。

三、我的感悟

    这部影片让我加深了对数学的认知和兴趣，其实数学是所有学科的基础，是那么深远的影响着我们的世界，数学又是那么的有趣，这些数学家们对他们是如此的痴迷与投入。每个人都应该有自己的目标，并且有坚定的意志力达到自己的目标。