高清《材料力学》西南交通大学 龚晖
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## 材料力学(上）
- 概念
- 刚度：抵抗变形的能力
- 强度：抵抗破坏的能力 [破坏：不可逆、非弹性形变]
- 稳定性：保持稳定平衡状态的能力
- 基本假设
- 材料是连续的、均匀的
- 各向同性假设
- 只研究小变形问题
- 基本变形：拉压、弯曲、剪切、扭转
- 轴向拉伸压缩
- 条件：1. 等直杆 or 分段等直 2.受力沿轴向<虽然局部受力平衡，但会因为内力的维持而产生形变>
- 在研究某一向度x时：集中力[集中载荷]{集中在一点:$F(x_0)$} & 分布力[分布载荷]{有一定的分布线密度:$f(x)$}
- 对均布荷载，有$F=ql$
- 轴力图：轴向内力F-截面坐标x【F表示0-x区段右侧所受力】
- 没有载荷的区段：$F=Const$
- 集中载荷处：F有对应大小的阶跃
- 均布载荷区段：F-x成一次函数
- 假设轴向力在截面上均匀分布，称力的面密度为应力,若力正交于截面，称作正应力：$\sigma=\frac {F_N}A$
- 在集中载荷附近，或者杆件形状改变区域附近，应力分布复杂，不适用于均匀分布假设
- 特殊横截面的杆件也不适用于均匀分布假设
- 外力在杆端分布方式不同，但合力相同，则只影响接触点局部区域
- 弹性形变
- 胡克定律的轴向力形式：$\frac{\delta l}{l}=\frac{F_N}{EA}\quad$ $E$为材料的杨氏弹性模量，E越小，材料越“软”；$EA$称作拉压刚度
- 应力：$\sigma=\frac {F_N}A\quad$ 应变[相对变形量：去除了量纲]：$\epsilon=\frac {\delta l}l\quad$ 因此：$\epsilon=\frac 1E \sigma$
- 拉压杆时的横向形变
- 拉杆时：$\Delta l>0 \Delta d<0$
- 压杆时：$\Delta l<0 \Delta d>0$
- 轴向应变：$\epsilon=\frac {\delta l}l\quad$ 横向应变：$\epsilon'=\frac {\delta d}d\quad$ 则材料的泊松比$\nu=|\frac {\epsilon'}{\epsilon}|=-\frac {\epsilon'}{\epsilon}$
- 横向应变可以用截面内任意线段的应变指代[甚至曲线长度也可] [本质是横截面的线度膨胀]
- 应力-应变曲线（以低碳钢拉伸为例）
- 弹性阶段OB [形变可完全恢复]（B:最大$\sigma_e$称为弹性极限）
- 线性阶段OA [适用于胡克定律：应力-应变成比例]（A:最大$\sigma_p$称为比例极限）
- 屈服阶段 [应力上下快速波动、均值基本不变，应变大幅增加，为塑性形变] （D:屈服阶段的周期波动最小值$\sigma_s$称为屈服极限）
- 强化阶段 [曲线恢复光滑、爬升至最高点G]（G:最大$\sigma_b$称为强度极限）
- 强化卸载：若在强化阶段某一点[称作卸载点]开始减小应力，则应力-应变关系以满足胡克定律的形式线性下降直至横轴
- 再加载：强化卸载后，材料相较最初有不可逆拉伸，此时应力从0重新增大，则材料状态沿强化卸载曲线原路返回至卸载点
- 再加载为冷作硬化[冷处理硬化]：$\sigma_p\uparrow$：线性阶段扩大；$\quad\sigma_b$不变； 相同应力情况下应变减小：材料变硬、可塑性降低
- 破坏阶段[颈缩阶段：截面积缩小直至断裂]
- 塑性伸长率：$\delta=\frac{\delta l}l$ 拉断时最大应变
- 低碳钢压缩的应力应变规律
- 在弹性、屈服阶段，压缩与拉伸的曲线基本重合（但压缩曲线没有屈服抖动），即E、$\epsilon_s$相同
- 随着应力进一步增大，应力-应变曲线呈现下凸
- 压缩后，材料呈现鼓型[中间鼓出]
- 对于无屈服阶段的塑性材料，在$\epsilon=0.2\%$处做胡克定律直线，与曲线交点称为名义屈服极限点，得到$\sigma_{p0.2}$，直线左侧为名义弹性阶段
- 许用正应力：$[\sigma]=\frac{\sigma_u}n\quad$ n>1为安全系数
- 塑性材料：$\sigma_u=\sigma_s or \sigma_{p0.2}$
- 脆性材料[$\epsilon_b$很小，且几乎没有颈缩阶段直接断裂]：$\sigma_u=\sigma_b$
- 扭转
- 条件：1.分段等直圆杆 2.在杆两端、作用面垂直于轴线的一对力偶[旋向相反]<虽然局部力矩平衡，但是会因为力矩而产生形变>
- 特点：横截面绕轴转动，原母线变为螺旋线；横截面上只有切向内力
- 深入理解：设想圆柱为一捆筷子，微观视角下，所谓扭转即筷子的局部剪切形变，故扭转切向内力面密度沿半径成正比
- 由：$\tau_\rho= k\rho\quad$ 则：力矩 $T=\int\rho dF=\int\rho\tau_\rho dA=k\int\rho^2dA \quad $
令极惯性矩：$I_\rho=\int\rho^2dA\quad$ 则：$kI_\rho=T\quad \tau_\rho=\frac{T\rho}{I_\rho}$
令扭转截面系数：$W_p=I_\rho/R$，则圆周上切内力密度$\tau_{max}=\frac{T}{W_p}$
- 对圆截面：$I_\rho=\frac{\pi d^4}{32}\quad W_p=\frac{\pi d^3}{16}$
- 扭转切向内力垂直于半径，旋向与该侧截面对应杆端的扭矩相同
- 强度条件：许用切应力$[\tau]$，则$\frac{T}{W_p}<[\tau]$
- 刚度条件：$\frac{\phi_{max}}{l}<[\phi']$
- 胡克定律的扭转力形式：$\delta\phi=\frac{Ml}{GI_\rho}\quad G$为切变模量； $GI_\rho$为扭转刚度【可由胡克定律的切应力形式推导】
- 非圆杆的两种扭转
- 自由扭转（纯扭转）[等直杆两端可自由翘曲，原横截面间的翘曲程度完全相同，杆内无正应力]
- 约束扭转[杆内有附加正应力]
- 矩形截面杆
- 最大切应力在矩形长边的中点处，矩形任意一边的切应力分布呈现上凸形，即中点为局部最大，矩形中心和四顶点切应力为0，从中心向外切应力逐渐增大
- 剪切
- 胡克定律的切应力形式：$\delta\theta=\frac 1G \frac FA\quad$ $\frac FA$为剪切应力
- 单剪切[一对力偶]
- 双剪切[三力两偶] [弯曲平衡受力]
- 弯曲
- 条件：1.等直杆[梁] 2.三力两偶
- 特点：1.母线弯曲 2.任意两横截面做相对转动
- 概念
- 简支梁：梁的两端搁置在支座上，并在一端加设水平约束，该处的支座称为铰支座，另一端支座称为可动支座。理论上简支梁可绕铰支座转动
- 剪力：平行横截面的内力
- 弯矩：梁内正应力的力矩（用于平衡剪切力力矩）
- 集中力偶：可以通过在梁中某一点径向刚接一段杆件，并在杆件末端施加轴向力获得【对径向受力平衡无影响，只影响力矩】
- 深入理解：梁内应力分布十分复杂，故人为地将应力进行轴向、径向分解，得到正应力和剪应力
- 剪力图-弯矩图：通过对径向列力的平衡方程，求得0-x区段受到剪力$F_s$；通过对杆端列力矩平衡方程，求得0-x区段所受弯矩
- 注意：剪力图为$\uparrow\rightarrow$；弯矩图为$\downarrow\rightarrow$
1. $q=0 \quad F_s=C\quad M:Linear$
2. $q=C \quad F_s:Linear\quad M:Parabola$
3. 集中力($q$冲激) $F_s$突变 $M$折角
4. 集中力偶 $F_s$无影响 $M$突变
- 符号规定
- 剪切力为正：使梁有顺时针转动趋势【力矩$\otimes$】
- 弯矩为正：轴向正应力力矩$\odot$
- 分布荷载集度：$q(x)$向上为正，向下为负
- 剪力、弯矩、q
- $\frac{dF_s(x)}{dx}=q(x)$
- $F_s(x_2)=F_s(x_1)+\int_{x_1}^{x_2}q(x)dx$
- $\frac{dM(x)}{dx}=F_s(x)$
- $M(x_2)=M(x_1)+\int_{x_1}^{x_2}F_s(x)dx$
- $\frac{d^2M(x)}{dx^2}=q(x)$
- 纯弯曲：$F_s=0\quad M=C\quad$否则称为横力弯曲
- 假设纯弯曲后原横截面仍为平面，且与轴线正交【正因为母线与横截面正交，说明截面之间没有剪切形变，故$F_s=0$】
- 设梁受到正弯曲【$M>0$下凸】，则梁从上到下分为受压区、中性层、受拉区；设截面左右对称，梁在宽度方向无应力变化，在高度方向有变化
- 梁高不大时，可将横力弯曲近似应用纯弯曲公式
- 设梁弯曲的曲率半径为$\rho$，则距中性层$h$处的正应力$\sigma=E\epsilon=E\frac{h}{\rho}$
- 设梁自由扭转，即正应力合力为0；$\int_A\sigma dA=0\rightarrow\int_A hdA\quad$ 故中性轴[中性层与截面交线]为形心轴
- 正应力力矩：$M=\int h\sigma dA=\frac{E}{\rho}\int h^2dA\rightarrow\frac 1\rho=\frac{M}{EI_z}\quad I_z$为关于形心轴的转动惯量；$EI_z$为弯曲刚度；$\sigma=\frac{Mh}{I_z}$，令弯曲截面系数$W_z=\frac{I_z}{h_{max}}$，得最大正应力$\sigma_{max}=\frac{M}{W_z}$
- 对圆截面：$I_z=\frac{\pi d^4}{64}\quad W_z=\frac{\pi d^3}{32}$
- 正应力强度条件：$\sigma_{t,max}<[\sigma_t]\quad\sigma_{c,max}<[\sigma_c]$ 最大拉应力和压应力都不能超过许用值
- 由$M=C \quad E=C' \quad I_z=C''$得$\rho=C'''$故纯弯曲的梁成圆弧形
- 弯曲切应力分布：对矩形截面，横截面上切应力方向竖直，在宽度方向应力大小相同
- $\tau=\frac{F_sS_z}{bI_z}$
- $F_s$：截面剪力
- $S_z$：所计算点处下侧对中性轴的静距
- $I_z$：截面对中性轴的转动惯量
- $b$：横截面的宽度
- 对矩形截面，$\tau=\frac{F_s}{2I_z}(\frac{h^2}{4}-y^2)\quad h$为截面总高度，$y$ 为计算点到中性轴的竖直距离；$\tau_{max}=\frac {3F_s}{2A} \quad A$为截面积
- 切应力强度条件：$\tau_{max}<\tau$
- 梁的弯曲位移【忽略轴向位移，只考虑径向】
- 挠度：某一点在梁弯曲后的竖向位移w【向下为正】【$\downarrow\rightarrow$】
- 挠度曲线：$w=f(x)$表征每一点的挠度，也即弯曲后梁的形状
- 在挠度曲线上$x=x_0$点做切线，切线与水平线夹角称作转角【斜率<0时转角取正】，可得$\theta(x)\approx\tan\theta(x)=\frac {dw}{dx}$
- 曲率微分方程(纯弯曲)：$\frac 1\rho=\frac{|M(x)|}{EI_z}\approx|w''(x)|\rightarrow\frac{M(x)}{EI_z}=-w''(x)$
- 初始条件$w(0)=0$
- 简支梁：$w(a)=0$
- 悬臂梁：$w'(0)=0$
- 超静定
- 静定问题：构件的受力情况通过静力平衡就能唯一确定
- 超静定问题：未知数个数多于静力学平衡方程
- 可以添加几何约束方程，如：$\Delta l=0$
- 一般来说，刚度大的杆件受力大，刚度小的杆件受力小；使用超静定结构可以提高结构的强度(提高最大受力)和刚度(减小形变)
- 超静定结构会产生 温度应力 (因温度变化、热胀冷缩、杆件形变而产生的额外应力)
- $\Delta l_t=\frac{Fl}{EA}\pm \alpha \Delta t\quad$ 原杆压缩则-，拉伸则+
- 由于加工误差、在装配时产生过盈配合，超静定结构会有 装配应力（未有外力承载时已有内力）
