【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep23】实数世界（一）
热爱数学的宝宝们，大家好，老碧又来了！
昨天我们看了书上对实数范围内和的定义，并且验证了，这个定义下两个实数的和，在实数范围内不仅存在，而且唯一，满足运算的“封闭律”。
今天，我们就来验证，在实数范围内的“加法”也满足交换群的四个性质——
13加法的性质
书中首先给出了实数加法的前三个性质——
其中——
交换律
结合律
有恒元——0
书中给出了第三个性质的证明——
我们可以按照同样的思路，利用实数加法的定义，依次给出这三个性质的证明——
交换律的证明——
我们任取两个实数f、g，我们分别用两组有理数从两个方向无限接近它们，a<f<a'，b<g<b'，对所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有a+b<f+g<a'+b'；
同理，b+a<g+f<b'+a'；
因为有理数加法满足交换律，所以a+b=b+a，a'+b'=b'+a'，所以对所有的（/任意的）a、b、a'、b'，还满足不等式，b+a<f+g<b'+a'；
结合2、3，以及实数和的唯一性，可知对任意实数f，g，f+g=g+f。
即实数加法满足交换律。
结合律的证明——
我们任取三个实数l、m、n，我们分别用两组有理数从两个方向无限接近它们，a<l<a'，b<m<b'，c<n<c'，对所有的（/任意的）a、b、c、a'、b'、c'，a+b<l+m<a'+b',b+c<m+n<b'+c'；
由实数的和的定义，（a+b）+c<（l+m）+n<（a'+b'）+c'，a+（b+c）<l+（m+n）<a'+（b'+c'）；
由有理数结合律可知，（a+b）+c=a+（b+c），（a'+b'）+c'=a'+（b'+c'）；
结合2、3，以及实数和的唯一性，可知（l+m）+n=l+（m+n）。
即实数加法满足结合律。
存在恒元0的证明——
任取实数k，用两组有理数从两个方向无限接近它，a<k<a'，0也是一个实数，那么也存在两组有理数可以无限接近它b<0<b'，显然b都是负数，b‘都是正数，显然，a+b<k+0<a'+b’；
由1显然可得a+b<a+0<a'+0<a'+b'，即a+b<a<a'<a'+b'；
结合1、2，可得a+b<a<k<a'<a'+b'；
结合1、3，以及实数和的唯一性，可知k+0=k。
即实数中也存在和有理数一样的数0，使得任何实数和0的和等于这个实数。
书中接着验证了实数加法也满足有理数加法的第四个性质——
即——
4.任何一个实数都有逆元——对于任意的实数a，都存在另一个实数-a，使得，a+（-a）=0，称-a和a互为相反数。
每个实数都有相反数的证明，利用了”有理数分划“这个工具，有理数必然有相反数，所以只需要证明无理数有相反数，即对任意一个无理数a，能找到一个实数（-a）满足，a+(-a)=0，即可——
任意一个无理数a对应一个有理数分划，且，这个无理数不属于上组或下组；
这个无理数a确定的有理数分划下组的所有数的相反数必然大于其上组所有数的相反数，故，且由有理数关于0的对称性可知，这些相反数组成的集合依然是全体有理数，故而，所有相反数构成一个有理数分划，其界数就是我们要找的（-a）；——我们由此构造了（-a），下面要验证其满足a+（-a）=0的条件——
我们记a确定的有理数分划下组的任意元素为x，上组任意元素为x'，那么（-a）的下组任意元素为-x‘，上组任意元素为-x，其中x<a<x'，-x'<-a<-x，由此可知x-x'<a+(-a)<x'-x；
显然，x-x'=-（x'-x），它们互为相反数，所以对任意的x-x'，都有x-x'<0<x'-x；
由3、4，以及实数和的唯一性，可知a+(-a)=0。
即，任意无理数也在实数范围内有相反数。
即，任意实数都在实数范围内有相反数。
最后，书上介绍了一个关于实数和的序的性质——若实数a>b，则对于任意实数c，a+c>b+c。
这个证明利用了实数的”强稠密性“——任意两个实数之间都有无数个有理数，将实数的和的比较转化成了我们已知的有理数的和的比较，也用到了化归思想——
对于任意实数a>b，之间必然存在两个有理数r1、r2，使得a>r1>r2>b，对于任意实数c，用两组有理数从两个方向无限接近它，s<c<s'，无限逼近即对任意小的实数e，存在s'与s，使得s'-s<e；
由r1-r2>0，所以必然存在e0使得r1-r2>e0>0；
结合1、2，则存在s'与s使得，s'-s<e0<r1-r2，即s'+r2<s+r1；
又有a>r1>r2>b，则a+c>r1+s>r2+s'>b+c。
即——若实数a>b，则对于任意实数c，a+c>b+c。
今天就到这里，明天继续！
