用两种颜色能把直线划分的区域分隔开吗？

首先定义区域，直观的说就是用曲线或者直线划分平面所成的各个部分，（例如平面上画一个圆，就把平面分为圆内和圆外两个部分）

问题:在平面上有N条直线，一共把平面分成若干个区域，现在用黑白两种颜色，要使所有相邻的区域都能着上不同的颜色，这可能吗？

分析:问题中的直线没有任何位置关系，我们可以从一般入手，可以验证当N等于1或2的时候，原命题是成立的。作图如图1

原命题也是成立的，所以我们考虑运用数学归纳法。

解:假定当N=k时成立，任意添上一条线，设为L（K+1)。因为当N=k时成立，所以做出一条线可能有以下结果（图2）

我们很容易得出，在这时，L(k+1)与提设有冲突，但我们可以看出都是在这一条线的上下有冲突，若我们把L(k+1)同一侧的区域（新的区域）全部替换成与原来不同色的，则上下就没有冲突了，而左右依旧是两色交替，符合题设，根据数学归纳法，得出原命题成立

因此可以说明，当N是任何自然数时，N条直线划分平面而成的区域，用黑白两色是可以区别着色的

关于涂色问题

涂色问题中，“四色问题”尤为出名。经过实践，我们很容易得出，区别任意线条在平面上所留下的区域只需要4种颜色就够了（例如各种地图上只有四种颜色），但如何去寻找它的内在逻辑呢？这个四色问题长期以来成为数学上许多未解决的著名问题之一，困难点是需要非常复杂的计算，似乎是人们不能克服的困难。但在1976年，在电子计算机的帮助下，把这个问题解决了。现在我们可以称之为“四色定理”了