较为常规的必要条件探路（2023全国乙，21）

（2023全国乙，21）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在、，使得曲线关于直线对称，若存在，求、的值，若不存在，说明理由；

（3）若存在极值，求的取值范围.

解：（1）当时，

，

，故切点为，

，

故所求切线为，

即.

（2）令

由于，故的定义域为

，

若存在，使得曲线关于直线对称，则；

即

皆有，即

整理得，

故，解得.

综上所述：，.

（3）求导，得

令，

注意到，求导，得

1.若，

则，则，

则，则，

无极值，不合题意；

2.若即，

则，则，

则，则，

无极值，不合题意；

3.若即，

令，得，

当，

，；

当，

，，

故

又因为，

故，使得

当，，；

当，，，

故在处取得极小值.

综上所述：.