弹簧-阻尼-质量块(m-c-k)系统

m-c-k系统是个很简单的二阶振荡系统，这里当做控制学习的一个记录写一写。

一个质量块m-kg，一个阻尼器c-N·s/m，一个弹簧k-N/m。

1、传递函数分析：

系统的输入为f(t),是一个作用力；输出为y(t)，是一个位移。

系统的动力学微分方程为：

拉氏变换：

得到传递函数：

可知，mck系统是由一个比例(增益)环节

和一个振荡环节环节

所组成，特征方程为

  很好理解，假如f(t)是一个相当于阶跃输入的静载荷力F，振荡环节的响应随时间衰减到0，系统进入稳态后，输出的位移x，就是弹簧的形变，也就是遵循Hooke定律。

而系统的动态特性由振荡环节决定。

对于一个二阶系统，标准形式的传递函数为： 

  用标准系统，去对比mck系统的振荡环节，可知mck系统的无阻尼固有频率和阻尼比分别为：

   所以mck系统的无阻尼固有频率和k、m有关，阻尼比和参数c成正比，和参数m、k成反关系。比较好理解，可以想象质量块的质量m或者弹簧的弹性k增加时，都会使阻尼c的作用相对而言变小，变得不明显。

    在分析时间响应的时候，振荡环节存在一个有阻尼固有频率，当阻尼比取值为0、[0,1]、1、[1,很大] 时，分别称为无阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统。

在频率特性分析中，振荡环节存在一个谐振频率，且越小，谐振峰值Mr越大。

2、状态空间表达式分析：

   系统中的独立储能元件为弹簧和质量块，所以选择两个状态变量，分别为x1=x（位移） ，x2=v= dx/dt（速度）。  输出y = x（位移）；所谓的振荡就是弹簧的势能和质量块的动能的相互转换，弹簧所具有的位能和质量块所具有的动能分别为：

根据状态变量本身的关系、系统的动力学微分方程、输出和状态变量的关系，可以写出：

进而得到系统的状态方程和输出方程分别为：

其中：系统矩阵

控制矩阵

输出矩阵

   通过系统矩阵A和控制矩阵B，可以大致知道系统的运动因果过程： 输入F，通过控制矩阵中的1/m，产生一个x2导（加速度）, x2导经过时间积分产生x2（速度），x2以1的倍数关系控制x1导（定义的时候其实x1导就是x2，因为位移的时间导数就是速度），x2同时以-c/m的关系（阻尼力）反馈控制其本身导数（加速度），x1导时间积分后产生x1（位移），x1以-k/m关系（弹簧力）控制x2导（加速度）。

  即：A矩阵中主对角线反映的是状态变量对其自身变化量的反馈，非主对角线元素反应状态变量之间的交互作用情况。x2和x1之间的交互作用就是动能和势能的相互装换，x2本身的交互作用就是阻尼消耗能量的过程。

3、具体分析：

阻尼比大的话，振荡现象就会不明显。为了使后面的各种超调量都明显一些，设定 ：

选择满足设定的一组参数组合，m = 1kg , k =100 N/m , c = 6 N/(m/s)。

利用matlab，建立模型并分析。

建立传递函数模型：

m = 1; k = 100; c = 6;

sys_tf = tf(1,[m,c,k])*k   %乘k,相当于把传递函数中的增益环节变成1，也相当于没有。sys_tf中就只是振荡环节。

时域：

subplot(2,1,1),impulse(sys_tf,2),grid on

subplot(2,1,2),step(sys_tf,2),grid on

S = stepinfo(sys_tf)   %阶跃响应的性能指标，函数返回一个struct类型数据。

性能参数都是一直且正确的。

频域：

subplot(1,2,1),bode(sys_tf),grid on;

subplot(1,2,2),nyquist(sys_tf),grid on;

谐振频率也是吻合的。