陶哲轩实分析答案（第二章）

自己写的图一乐。

2.2.2

由于得从1开始归纳让人头疼。因为没有“序”的概念，所以我就绕过它好了。

定义P(n)是关于自然数n的性质，满足:若n≠0，恰好存在一个自然数b，有b++=n。现在证明P(n)成立就行了。（……只能说观感好了一点吧）

对n进行归纳。

1.若n=0，则P(n)莫须有成立。

就是说，如果一个蕴含命题的前提为假，那么无论结论如何，该命题都是对的。比如，“如果国足世界杯夺冠，那……”，由于你心理已经认为前提是不可能的了，所以你只会回一句“啊对对对”

2.归纳性地假设P(n)成立，证P(n++)成立。即证存在自然数b'，满足b'++=n++:

由公理2.4，b'=n是一个选择，并且是唯一的。我们最好用已经明确的数来描述b':根据假设，当n=0时，存在自然数b'=0唯一满足b'++=n++;当n≠0时，存在自然数b，满足n=b++，因此令b'=b++，根据公理2.2，b'也是个自然数。至此，归纳结束，对于任何自然数n，P(n)恒为真。

2.2.5

复杂得头疼。

定义Q(n)如提示，我们可以知道，若对于任意自然数n都有Q(n)成立，命题成立。因为可以随便取n的值嘛，令m=n，自然就可以随便取m，让P(m)成立了。

这样就把命题具体化了。我们用归纳法处理Q(n)

对n进行归纳。

1.利用提示发现Q(0)成立。

因为根据定义有:m₀≤m≤0，要么m范围为空，此时Q(m)莫须有成立；要么m=m₀=0，根据P(m)性质发现P(m')的取值范围为空，故P(m)成立，那么此时Q(n)也成立。（范围内的所有m的取值对应的P(m)成立，Q(n)就成立）

2.归纳性地假设Q(n)成立，证Q(n++)成立:

若Q(n)成立，则对于m₀≤m≤n的所有m，P(m)都成立，即m₀≤m'（结合序中的(d)和(e)），故由P(m)的性质得到P(m)成立，故得证Q(n++)。归纳结束。

（直观上看，Q(n)成立就是说:P(m₀)，P(m₀+1)，P(m₀+2)，……，P(n)成立，但是P(m)本身呢，是说如果前面一串都成立，那么后一个也就成立，因此Q(n++)就很好证了。当然，有一个问题就是，如果这个排列不成立，比如n<m₀，该怎么办?提示就是告诉我们此时m取值范围为空。）

贴一下m<n++当且仅当m≤n:

由(e)m++≤n++，再由(d)得m≤n。

反过来再证一下就行了。

2.2.6

其实挺常规的。

对n进行归纳。

1.当n=0时，有P(0)为真，欲证：P(m)对任意满足m≤0的自然数m均为真。

由于m≥0（习题2.2.4已经证了），故m=0，即证P(0)，由题可知成立。

2.归纳性地假设原命题成立，且P(n++)为真，证明P(m)对任意满足m≤n++的自然数都成立:

由于P(n++)为真，由性质可知P(n)为真。再根据假设可知P(n)为真，则P(m)对于任意满足m≤n的自然数都成立，故得证。（这里要证明m≤n++等价于m≤n和m=n++，可以利用(f)）。归纳结束。

若m≤n++，存在自然数b，有n++=m+b，若b=0，则m=n++;若b≠0，则b是正自然数，m<n++，等价于m≤n。

2.3.1

容易引起混淆。

引理1:（右乘0）对任意自然数n，证明n×0=0

证明略

引理2:（右乘）对任意自然数n，m，证明m×(n++)=(m×n)+m

要注意一下，如果把这里的m×n写成n×m是证不出来的。

剩下证明略

2.3.5

常规。

对n进行归纳。

1.当n=0时，欲证存在自然数m，r，使得0≤r<q，满足n=mq+r。即0=mq+r:

由于mq，r都是自然数(定义2.3.1下方)，根据推论2.2.9知mq=0，且r=0。又由引理2.3.3可知，若q≠0，则m=0。故唯一存在m=0，r=0，使提问成立。

2.假设已经证明了该命题，求证存在自然数m'，r'，使得0≤r'<q，满足n++=m'q+r':

由假设有n=mq+r，故n++=(mq+r)++=mq+(r++)。由r<q，即r++≤q，可知r++=q，或r++<q。（与之前的证明差不多）

若r++=q，则n++=(m++)q=(m++)q+0，此时取m'=m++，r'=0。若r++<q，则取m'=m，r'=r++。故得证，归纳结束。

施工结束！（手机打字好累……）