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30分钟拿下高考外接球(万能解法)(全网首发)

2023-08-19 23:25 作者:Xavze  | 我要投稿

立体几何外接球万能解法

笔记区高三up主Xavze奉上|ω・)

附带一点点自我补充内容

更多优质笔记详见个人空间~


立体几何外接球面积和体积的万能解法

①确定底面ABC,确定底面的外接圆和外接圆圆心O'

②求出外接圆的半径r


【自我补充】

任意三角形外接圆半径速解:

r外=(1/2)*(a/sinA)

a和sinA即为任意一边及其对角


③确定大圆及大圆圆心O

(每一个底面外接圆,总有一个半径即为球体半径大圆与之平行)

记OO'长度=h,构造勾股定理h²+r²=R²

(由于大圆与小圆平行,所以高度h垂直于两个平面,产生了直角,所以可以使用勾股定理进行构造)


④确定顶点S到底面ABC的投影点M,记SM=H,SM即为该几何体的高

⑤连接O'M,过O点作ON垂直于SM,交SM于N点,O'M=ON,MN=h

⑥构造勾股定理(H-h)²+O'M²=R²

(几何体的高垂直于底面,底面与大圆平行,则也垂直于大圆,由此,可以构造第二个勾股定理)


联立两个勾股定理即可解得未知数h与R,进而求出外接球的体积与面积。



以上为复杂题目所采取的通法

有的简单题目,几何体的顶点S,外接球的圆心O,底面圆的圆心O'都在一条直线上

同样也是构造勾股定理,但相对来说就比较好构造

常见的类型有正几棱锥或是正几面体


【自我补充】

(h均为几何体的高度,r外为底面圆半径)

正棱锥的外接球公式:

R²=(1/4)h²+r外²

直棱柱,正棱柱的外接球公式:

R²=(h-R)²+r外²



有的几何体并不贯穿整个外接球,而可能只位于外接球的上半方。

所以可能算出来数值会不一样,为了避免这种情况,先统一按照贯穿整个外接球来进行计算。

唯一不一样的数值是OO'长度h

h>0时,就是最普通的情况,几何体贯穿整个外接球

h=0时,几何体正好占了半个外接球,也没问题

h<0时,几何体就位于外接球的上半方

当h小于零的时候,只需要将最后一步构造勾股定理中的(H-h)替换成(H+h)


下面是例题:

(外接圆有的比较特殊的,可以直接根据几何关系,不用列勾股定理都能直接求解,但是面对比较普通的外接圆,建议使用补充的公式更快)


注意这道题里面在把h解出来的时候为负值,所以要返回去把第二个勾股定理里面的减号改成加号,然后再做一遍,这个时候解出来的h值才是真实的h值,进而求得外接球半径


byebye|ω・)

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