【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep51】第三波习题来了！
我们在Ep49和Ep50介绍了实数完备性的前两个定理的相互推导，今天我们来继续聊实数完备性第二个定理的前两个习题。
我们先复习一下实数完备性第二个定理的内容：单调有界数列必有极限。
我们把这个定理换一种更好应用的方式表述——单增有上界数列必有极限，单减有下界数列必有极限。
而这个定理常常会用到的地方——
典型能看出来单调的数列，比如我们学到后面的正项级数收敛的判定法中，就有这条定理的应用；
考试的时候，如果遇到“证明XXX迭代数列是收敛的”优先考虑能不能用这个定理——迭代数列是拿一个数列的前若干项表示an的方式，比如最简单的迭代数列a1=1，an=an-1+1就是首项为1，公差为1的等差数列。
这个定理的用法也很简单——
判断迭代数列是否单调？——是，进第2步，否，考虑其他办法；
判断迭代数列是否有界？——是，进第3步，否，则数列发散；
由1、2可知数列是有极限a的，那么我们令n趋向于无穷大，就可以得到一个关于极限a的方程，解出方程即可得到极限a。
下面来看例题——
35例题
1.求数列xn=c^n/n!的极限（c>0）——
这道题直接就把通项公式改成了迭代数列的方式，但是分析的过程往往没有这么直接，我们可以放在草稿纸上进行，一般我们写出前三到四项是可以观察出一定的规律的——
x1=c；
x2=c*c/2；
x3=c*c*c/2*3；
x4=c*c*c*c/2*3*4；
……
由此很显然我们得到了以下规律——
第n项的分子是前一项的c倍，恒为正数；
第n项的分母是前一项的n倍，恒为正数；
我们即可写出这个数列的迭代公式，x1=c，xn=（c/n）xn-1。
——也就是说——
从某一项开始，这个数列会开始单调递减，原因在于，c的数字是恒定的，但是n确实在向无穷大变化的，必然存在整数C，使得C<=c<C+1，那么，只要n>=C+1，之后的数列各项单调递减；
又显然，数列{xn}各项均为正数，即对于任意n，xn>0，即{xn}有下界；
由1、2可知，数列{xn}为单减有下界数列，必有极限x；
我们令迭代公式两侧n同时趋向于无穷，lim xn=lim （c/n）xn-1，即x=x lim（c/n）=x*0=0，即数列极限为0。
2.经典题：迭代数列，x1=c^（1/2），xn=（c+xn-1）^（1/2）的极限（c>0）——
这道题不仅许多教材引用过，而且也是曾几何时北大中科院喜欢考的基础题之一，不过近几年会重复考这么基础的题的可能性不大，但是作为基础，是肯定要掌握的，我们照例在草稿纸上写好分析过程——
显然数列各项都大于0；
那么，由函数f（x）=x^2在x>0时为单增函数我们可以通过比较xn^2与xn-1^2的大小来确定xn与xn-1的大小；
作差：xn^2-xn-1^2=（xn-xn-1）（xn+xn-1）=[（c+xn-1）^（1/2）]^2-[（c+xn-2）^（1/2）]^2=（c+xn-1）-（c+xn-2）=xn-1-xn-2，即显然数列{xn}为单调数列，单增还是单减由数列最前两项的关系确定；
又x1=c^（1/2），x2=[c+c^（1/2）]^（1/2），则x2>x1；
由3、4，数列{xn}为单增数列。
又易验证，该数列有上界c^（1/2）+1，用数学归纳法——
x1=c^（1/2）<c^（1/2）+1；
假如xn<c^（1/2）+1，则xn+1=（c+xn）^（1/2）<[c+c^（1/2）+1]^（1/2）=c^（1/2）+1；
即该数列有上界c^（1/2）+1。
单增有上界数列必有极限x——
们令迭代公式两侧n同时趋向于无穷，lim xn=lim（c+xn-1）^（1/2）；
即x=（c+x）^（1/2）；
解出x=[1+（1+4c）^（1/2）]/2或x=[1-（1+4c）^（1/2）]/2，舍去小于0的解，得到x=[1+（1+4c）^（1/2）]/2，即为所求极限。
后天继续！
