质数计数函数与黎曼 zeta 函数的关系以及其显式形式 [上]

2023-07-19 20:31 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

众所周知, Reimann ζ 的零点与质数有着密不可分的关系, 其中最直接的就是质数计数函数 π(x) 可以由 ζ 的零点表示, 质数计数函数就是给出小于等于 x 的质数的数量, 比如 π(10) = 4, 因为小于等于 10 的质数有 4 个: 2, 3, 5, 7, 注意 π(x) 的 x 不只是整数, 对于任意正实数都是可以的, 下面是 π(x) 的 1~100的图像:

可以看到随着 x 的增加, 遇到一个质数时 π(x) 的值就会增加 1 (废话). 但实际上由 ζ 的零点给出的显式形式并不是 π(x), 而是一个稍微"圆滑"一点的函数 π₀(x), 这个函数随着 x 的增加遇到质数时, π₀(x) 只会增加 0.5, 随后才会再增加 0.5, 也就是说 π₀(x) 在质数处只会取到半整数而不是整数, 如下图所示:

这种奇怪的跳一半的性质对于熟悉 Fourier 变换的人来说一定很熟悉, 在这里的原因也是类似的. 在开始计算之前, 下面介绍符号以及引入另外几个与质数密切相关的函数

符号 & 函数

符号 $p$ 表示质数, 并且 $%5Csum_p$ 表示 p 取全体质数的求和符号. 那么质数计数函数写成式子为 $%5Cpi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D1$ .

符号 $%5Crho$ 表示 ζ 的零点 (平凡的和非平凡的), 类似地, $%5Csum_%5Crho$ 表示 ρ 取全体 ζ 零点的求和符号. 另外, 因为平凡零点的实部总是小于 0, 非平凡零点的实部总是大于 0, 所以使用 $%5Crho_-%2C%5C%2C%5Crho_%2B$ 分别表示平凡零点和非平凡零点.

第一个引入的函数是 von Mangoldt 函数 Λ, 其定义如下:

$%5CLambda(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cln%20p%2C%26x%3Dp%5Ek%2C%5C%2Ck%5Cgeq1%2C%5C%2Ck%5Cin%5Cmathbb%20Z%5C%5C0%2C%26%5Cmathrm%7Botherwise%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

也就是当整数 x 是某个质数 p 的次方数时, Λ(x) 为 p 的自然对数, 否则为 0.

第二个引入的函数是 Chebyshev 函数 ψ, 其定义如下:

$%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7Bx%7D%5CLambda(x)$

也就是 ψ 是 Λ 的求和函数, ψ 存在一种等价的定义: 在给出 p 和 x 时有 x = p^k, 那么小于等于 x 的 "p 的次方数" 的数量为 ⌊k⌋, 其中 ⌊·⌋ 为向下取整函数, 那么 ψ 可以定义为 $%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cleft%5Clfloor%5Clog_px%5Cright%5Crfloor%5Cln%20p$ , 下图是 ψ(x) 的 1~100 的图像.

另外, ψ 也存在"圆滑"的版本 ψ₀, 与 π₀ 类似, 这个函数在进行"跳跃" 时会分为两次"跳跃". 并且 π₀ 和 ψ₀ 都可以通过下式定义, 其中 f 为 π 或 ψ

$f_0(x)%3D%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%5Crightarrow0%7D%5Cfrac12%5Cleft(f(x-%5Cvarepsilon)%2Bf(x%2B%5Cvarepsilon)%5Cright)$

在进行函数的积分变换时就会出现这种情况, 这里以 Fourier 变换为例, 但这对于下面提到的 Mellin 变换也是一样的.

$%5Chat%5Cpsi%3A%3D%5Cmathcal%20F%5Cpsi%5CRightarrow%5Cmathcal%20F%5E%7B-1%7D%5Chat%5Cpsi%3D%5Cpsi_0$

由 π 和 ψ 的定义可以知道, π(1) = ψ(1) = 0, 这个性质在下面将会非常重要.

质数定理 & 黎曼猜想

质数定理描述的是随着数字增大时质数分布的情况, 第一个估计由下式给出:

$%5Cpi(x)%5Csim%5Cfrac%20x%7B%5Cln%20x%7D$

对上式的另一种描述是 $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpi(x)%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%3D1$ . 这个式子表示随着 x 的增大, 质数计数 π(x) 会趋向于 x / ln x. 另一个更好的估计由下式给出:

$%5Cpi(x)%5Csim%5Cmathrm%7Bli%7D(x)$

其中 li 是对数积分函数 $%5Cmathrm%7Bli%7D(x)%3D%5Cint_0%5Ex%5Cfrac%7Bdt%7D%7B%5Cln%20t%7D%20$ , 很多地方会使用另一个有略微不同的对数积分函数 Li(x) = li(x) - li(2), 不过这个常数对 x → ∞ 时没有影响. 两种估计的相对误差如下图所示:

虽然质数定理存在初等证明但是非常繁琐, 又存在简短但使用柯西积分定理的证明, 但是这里既然提到了 ζ 零点以及 Chebyshev 函数, 那么下面将使用这两个来证明质数定理.

首先, 质数定理 $%5Cpi(x)%5Csim%20%5Cfrac%20x%7B%5Cln%20x%7D$ 等价于 $%5Cpsi(x)%5Csim%20x$ , 如果后者成立, 那么质数定理也成立.

证明等价性: 由 ψ 的定义得

$%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cleft%5Clfloor%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20p%7D%5Cright%5Crfloor%20%5Cln%20p%5Cleq%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20p%7D%5Cln%20p%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cln%20x%3D%5Cpi(x)%5Cln%20x$

然后对于任意 0 < ε < 1 有

$%5Cpsi(x)%5Cgeq%5Csum_%7Bx%5E%5Cvarepsilon%3Cp%5Cleq%20x%7D%5Cln%20p%3E%5Csum_%7Bx%5E%5Cvarepsilon%3Cp%5Cleq%20x%7D%5Cln%20x%5E%5Cvarepsilon%3D%5Cleft(%5Cpi(x)-%5Cpi(x%5E%5Cvarepsilon)%5Cright)%5Cvarepsilon%5Cln%20x%3E%5Cleft(%5Cpi(x)-x%5E%5Cvarepsilon%5Cright)%5Cvarepsilon%5Cln%20x$

将上式两边同除以 x 得

$%5Cfrac%7B%5Cpsi(x)%7Dx%3E%5Cvarepsilon%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi(x)%5Cln%20x%7Dx-x%5E%7B%5Cvarepsilon-1%7D%5Cln%20x%5Cright)$

当 x → ∞ 时 x^{ε-1}*ln x → 0, 即 $%5Cpsi(x)%3E%5Cvarepsilon%5Cpi(x)%5Cln%20x$

综合上面两个结论得 $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpsi(x)%7D%7B%5Cpi(x)%5Cln%20x%7D%3D1$ , 即 $%5Cpsi(x)%5Csim%20%5Cpi(x)%5Cln(x)$ , 那么如果质数定理成立, 则有 ψ(x) ~ x, 反之亦然.

然后证明 ψ(x) ~ x:

首先 ψ 有以下显示形式 (后文有给出):

$%5Cpsi_0(x)%3Dx-%5Cln(2%5Cpi)-%5Cfrac12%5Cln%5Cleft(1-x%5E%7B-2%7D%5Cright)-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

正如符号约定里面说的, ρ₊ 表示 ζ 的非平凡零点. 当 x → ∞ 时, 1/2 * ln(1-x⁻²) → 0, 那么如果 ψ(x) ~ x, 则上式求和部分的增长速度小于 x.

设 Re(ρ₊) = σ, 可以知道求和内的增长速度受限于 x^σ, 那么求和部分的增长速度受限于 $x%5E%7B%5Csigma_%5Cmax%7D$ , 其中 σₘₐₓ 为所有非平凡零点里最大的实部, 在前前篇文章里有证明过: ζ 非平凡零点只在 0 < Re(s) < 1 里, 也就是说 σₘₐₓ < 1, 亦即证得 ψ(x) ~ x, 从而证明了质数定理.

实际上有 $%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D%3DO(x%5E%7B%5Csigma_%5Cmax%7D%5Cln%5E2x)$ , 但是证明这个式子有亿点复杂, 而且跟上面的理念差不多. 因为质数定理与 ψ(x) ~ x 等价, 而 ψ(x) - x 的增长速度与 x^σₘₐₓ 有关, 当黎曼猜想成立时 (即 σₘₐₓ = 1/2), 可以得出结论 $%7C%5Cpi(x)-%5Cmathrm%7Bli%7D(x)%7C%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%5Cln%20x%7D%7B8%5Cpi%7D%2C%5C%2Cx%5Cgeq2567$ (Schoenfeld, 1976).

Λ 与 ζ 的联系

Λ 与 ζ 有 $%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D$ , 证明:

注意到 $%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%5Cln%20f(x)%3D%5Cfrac%7Bd(%5Cln%20f(x))%7D%7Bd(f(x))%7D%5Cfrac%7Bd(f(x))%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bf'(x)%7D%7Bf(x)%7D$ , 那么

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Czeta(s)$

代入 ζ 的欧拉乘积形式

$%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Cleft(%5Cprod_p%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Csum_p-%5Cln%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)$

$%3D-%5Csum_p%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%3D-%5Csum_p%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5E%7B-1%7Dp%5E%7B-s%7D%5Cln%20p$

Taylor 展开 $(1-x)%5E%7B-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%5Cgeq0%7Dx%5Ek$ 得

$%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bk%5Cgeq0%7Dp%5E%7B-sk%7D%5Ccdot%20p%5E%7B-s%7D%5Cln%20p%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cln%20p%7D%7Bp%5E%7Bsk%7D%7D%20$

由 Λ 的定义可得

$%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(p%5Ek)%7D%7B(p%5Ek)%5Es%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D$

ψ 与 ζ 的联系

不难知道 $s%5Cint_n%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3Dn%5E%7B-s%7D%2C%5C%2C%5CRe(s)%3E0$ , 证明:

$s%5Cint_n%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3Ds%5Ccdot%5Cleft.%5Cfrac%7Bx%5E%7B-s%7D%7D%7B-s%7D%5Cright%7C_n%5E%5Cinfty%3D%5Cleft.-x%5E%7B-s%7D%5Cright%7C_n%5E%5Cinfty%3Dn%5E%7B-s%7D$

那么 ψ 与 ζ 有 $(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)%3D%5Cfrac%7B%5Czeta'(-s)%7D%7Bs%5Czeta(-s)%7D$ , 证明: 由 Λ 与 ζ 的联系得

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5CLambda(n)n%5E%7B-s%7D$

$%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5CLambda(n)s%5Cint_n%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3D-s%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_n%5E%5Cinfty%5CLambda(n)x%5E%7B-s-1%7Ddx$

另外有 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_n%5E%5Cinfty%3D%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Clfloor%20x%5Crfloor%7D$ , 并且对于正实数 x 有 $%5Cpsi(x)%3D%5Cpsi(%5Clfloor%20x%5Crfloor)$ , 那么

$%3D-s%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Clfloor%20x%5Crfloor%7D%5CLambda(n)x%5E%7B-s-1%7Ddx%3D-s%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Cpsi(x)x%5E%7B-s-1%7Ddx$

根据 ψ 的定义, ψ(0) = 0, 所以 Uψ = ψ, 那么上式的积分下限可以变为 0, 使用 -s 替换 s 上式得到

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(-s)%7D%7B%5Czeta(-s)%7D%3Ds%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cpsi(x)x%5E%7Bs-1%7Ddx%3Ds(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)$

证毕. 另外这个联系可以写为与参数无关的形式 $%5Cmathcal%20R%5Cleft((%5Cln%5Ccirc%5Czeta)'%5Cright)%3DI%5Ctimes%5Cmathcal%20M%5Cpsi$ , 应用上面列出的算符运算, 得到 $(%5Cmathcal%20R(%5Cln%5Ccirc%5Czeta))'%3D%5Cmathcal%7BMD%7D%5Cpsi$ .

ψ 的显式形式

实际上有了上面的关系之后, 熟悉复分析的人就可以用 Mellin 逆变换开始嗯算了, 但是这里进行一个巧的取.

Hadamard 根据 Weierstrass 分解定理给出了 ζ 的一种表达形式

$(s-1)%5Czeta(s)%3D%5Cfrac12%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7De%5Cright)%5Es%5Cprod_%5Crho%20e%5E%7B%5Cfrac%20s%5Crho%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%20s%5Crho%5Cright)$

其中 ρ 为 ζ 的全部零点. 尽管这里不会证明这个表达式, 但是可以描述一下 Weierstrass 分解定理:

首先复习代数基本定理: 一个 n 次多项式 $f(s)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Ena_ks%5Ek$ 必定存在 n 个零点, 如果将第 j 个零点记为 ρⱼ, 那么这个多项式可以表示为 $f(s)%3Db%5Cprod_%7Bj%3D1%7D%5Ens-%5Crho_j$ .

那么 Weierstrass 分解定理可以看作代数基本定理的扩展: 任意整函数都可以表示为与其零点相关的函数的乘积. 假设整函数 f(s) 的第 j 个非零零点为 ρⱼ (如果零点的阶 k > 1, 那么重复出现 k 次这个零点), 并且 f 在 s = 0 为 m 阶零点 (m = 0 表示 0 不是 f 的零点), 那么则存在整函数 g(s) 和一系列整数 bⱼ 使得 $f(s)%3Ds%5Eme%5E%7Bg(s)%7D%5Cprod_%7Bj%7DE_%7Bb_j%7D%5Cleft(%5Cfrac%20s%7B%5Crho_j%7D%5Cright)$ , 其中 $E_b(s)%3D(1-s)%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5Ebe%5E%7B%5Cfrac%7Bs%5Ek%7Dk%7D$ .

有了 Hadamard 乘积形式后可以开始计算:

首先对于 Re(s) < Re(a) 有 $%5Cleft(%5Cmathcal%7BMU%7D%5Cleft%5C%7B-x%5Ea%5Cright%5C%7D%5Cright)%3D(s%2Ba)%5E%7B-1%7D$ , 证明:

$%5Cleft(%5Cmathcal%7BMU%7D%5Cleft%5C%7B-x%5Ea%5Cright%5C%7D%5Cright)(s)%3D%5Cint_1%5E%5Cinfty-x%5Eax%5E%7Bs-1%7Ddx%3D-%5Cint_1%5E%5Cinfty%20x%5E%7Bs%2Ba-1%7Ddx%3D-%5Cleft.%5Cfrac%7Bx%5E%7Bs%2Ba%7D%7D%7Bs%2Ba%7D%5Cright%7C_1%5E%5Cinfty%3D%5Cfrac1%7Bs%2Ba%7D$

其次有 $%5Cfrac%7B%5Cleft((s-1)%5Czeta(s)%5Cright)'%7D%7B(s-1)%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac1%7Bs-1%7D%2B%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D$ , 然后

$%5Cfrac%7B%5Cleft((s-1)%5Czeta(s)%5Cright)'%7D%7B(s-1)%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln((s-1)%5Czeta(s))$

将 Hadamard 乘积形式代入:

$%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Cleft(%20%5Cfrac12%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7De%5Cright)%5Es%5Cprod_%5Crho%20%20e%5E%7B%5Cfrac%20s%5Crho%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%20s%5Crho%5Cright)%5Cright)$

$%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cleft(-%5Cln2%2Bs(%5Cln2%5Cpi-1)%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac%20s%5Crho%2B%5Cln%5Cleft(1-%5Cfrac%20s%5Crho%5Cright)%5Cright)$

$%3D%5Cln2%5Cpi%20-%201%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac1%5Crho%2B%5Cfrac1%7Bs-%5Crho%7D$

其中 1/ρ + 1/(s-ρ) = s / (ρ(s-ρ)), 并且 1 + 1/(s-1) = s / (s-1), 然后得到:

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cln2%5Cpi-%5Cfrac%20s%7Bs-1%7D%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bs%7D%7B%5Crho(s-%5Crho)%7D$

应用 $(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)%3D%5Cfrac1s%5Cfrac%7B%5Czeta'(-s)%7D%7B%5Czeta(-s)%7D$ 得

$(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)%3D%5Cfrac%7B%5Cln2%5Cpi%7Ds-%5Cfrac1%7Bs%2B1%7D%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac1%5Crho%5Cfrac1%7Bs%2B%5Crho%7D$

由积分的线性可以知道 Mellin 变换也是线性的, 对比上式可以得出

$(%5Cmathcal%20U%5Cpsi_0)(x)%3D-%5Cln2%5Cpi%2Bx-%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho$

假设 x > 1, 然后把上式的求和部分的零点分为平凡零点和非平凡零点, 因为平凡零点为全部负偶数, 所以

$%5Cpsi_0(x)%3Dx-%5Cln2%5Cpi-%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B-2k%7D%7D%7B-2k%7D-%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

$%3Dx-%5Cln2%5Cpi%2B%5Cfrac12%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E%7B-2%7D%5Cright)%5Ek%7Dk-%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

并且有 Taylor 展开 $%5Cln(1-x)%3D-%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bx%5Ek%7Dk$ 那么得到

$%5Cpsi_0(x)%3Dx-%5Cln2%5Cpi-%5Cfrac12%5Cln%5Cleft(1-x%5E%7B-2%7D%5Cright)-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

另外一点比较有趣的是可以把 x 看作 x¹ / 1, 这个形式与上面的零点求和内是一致的, 但是与零点求和异号 (x 符号为正, 零点求和为负), 这是因为 1 是 ζ 的一阶极点, 并且 $%5Cfrac%7B%5Czeta'(0)%7D%7B%5Czeta(0)%7D%3D%5Cln2%5Cpi$ , 也就是说 ψ 与 ζ 里的零点, 极点和 0 有关 (从 Weierstrass 分解定理也可以直接看出这点).