《几何原本》命题6.2【夸克欧氏几何】

命题6.2：

如果一条直线平行于三角形的一边，那么它所截得的边成比例，如果三角形的两边被截成比例，那么过两截点的直线平行于第三边

已知：△ABC，其中DE∥BC

求证：BD：AD=CE：AE

解：

连接BE，CD

（公设1.1）

证：

∵DE∥BC

（已知）

∴S△BDE=S△CDE

（命题1.37）

∴S△BDE：S△ADE=S△CDE：S△ADE

（命题5.7）

∵点E公用

（已知）

∴S△BDE：S△ADE=BD：AD

（命题6.1）

∵点D公用

（已知）

∴S△CDE：S△ADE=CE：AE

（命题6.1）

∴BD：AD=CE：AE

（命题5.11）

已知：△ABC，点D在AB上，点E在AC上，BD：AD=CE：AE

求证：DE∥BC

解：

连接BE，CD

（公设1.1）

证：

∵点E公用

（已知）

∴S△BDE：S△ADE=BD：AD

（命题6.1）

∵点D公用

（已知）

∴S△CDE：S△ADE=CE：AE

（命题6.1）

∵BD：AD=CE：AE

（已知）

∴S△BDE：S△ADE=S△CDE：S△ADE

（命题5.11）

∴S△BDE=S△CDE

（命题5.9）

∵DE公用

（已知）

∴DE∥BC

（命题1.39）

证毕

此命题将在本卷的命题中被大量使用

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