很水的数学分析103：Euclid空间上的闭集

#练习生打卡

1.闭集定义。

①定义源头：Bolzano—Weierstrass定理，而且体现在闭区间上连续函数的三个性质的证明过程中。

②闭集特色（区别于开集）：

集合的极限点都在集合中。

③集合跟数列的一大区别：数列中相同的值可以对应多个项，而集合中所有相同的值都代表一个元素。

④因为③，所以为了排除常值子列那种情况，用去心邻域那条性质定义集合极限点。“x的任一邻域包含E中无穷多个点”的形式化语言：Йr(x)∩E≠∅

2.E是开集⇔Eᶜ是闭集

3.类似内部的性质，

（E°是包含于E的最大的开集）

   Ē是包含E的最小的闭集

4.“2”和“3”的证明中反复用

①x∈E⇔x∉Eᶜ

②A∩Bᶜ≠∅⇔A⊆B

  A∩B=∅⇔A⊆Bᶜ

（定理中A=Йr(x)，B=E）

5.类似开集性质，

∅和IR都是闭集；闭集的任意交是闭集，闭集的有限并是闭集。

从“2”以及de Morgan律推得。

无限并的反例：∪(-1/n,1/n)ᶜ

6.再讨论投影算子。

开集→开集，但闭集未必→闭集