《几何原本》命题3.36【夸克欧氏几何】

命题3.36：

如果圆外一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么该点到圆凸弧的线段与该点到圆凹弧的线段所构成的矩形等于切线上的正方形

已知：圆ABC，点D，BD切圆于点B，AD交圆凸弧于点C

求证：S矩形AD×CD=S正方形BD2

当AD过圆心时

解：

求出圆ABC的圆心点F

（命题3.1）

连接BF

（公设1.1）

证：

∵点F是AC中点，CD在AC的一端

（已知）

∴S矩形AD×CD+S正方形CF2=S正方形DF2

（命题2.6）

∵点F为圆ABC的圆心

（已知）

∴BF=CF

（定义1.15）

∴S矩形AD×CD+S正方形BF2=S正方形DF2

（公理1.1）

∵BD切圆ABC于点B

（已知）

∴BD⊥BF

（命题3.18）

∴∟DBF是直角

（定义1.10）

∴Rt△BDF中，S正方形DF2=S正方形BD2+S正方形BF2

（命题1.47）

∴S矩形AD×CD+S正方形BF2=S正方形BD2+S正方形BF2

（公理1.1）

∴S矩形AD×CD=S正方形BD2

（公理1.3）

当AD不过圆心时

解：

求出圆ABC的圆心点E

（命题3.1）

过点E作EF⊥AD

（命题1.12）

连接BE，CE，DE

（公设1.1）

证：

∵EF⊥AD

（已知）

∴点F是AC中点

（命题3.3）

∵CD在AC的一端

（已知）

∴S矩形AD×CD+S正方形CF2=S正方形DF2

（命题2.6）

∴S矩形AD×CD+S正方形CF2+S正方形EF2=S正方形DF2+S正方形EF2

（公理1.2）

∵Rt△CEF中，S正方形CE2=S正方形CF2+S正方形EF2

（命题1.47）

∴S矩形AD×CD+S正方形CE2=S正方形DF2+S正方形EF2

（公理1.1）

∵Rt△CEF中，S正方形DE2=S正方形DF2+S正方形EF2

（已知）

∴S矩形AD×CD+S正方形CE2=S正方形DE2

（公理1.1）

∵点E是圆ABC

（已知）

∴BE=CE

（定义1.15）

∴S矩形AD×CD+S正方形BE2=S正方形DE2

（公理1.1）

∵BD切圆于点B

（已知）

∴∟DBE是直角

（定义1.10）

∴Rt△BDE中，S正方形DE2=S正方形BD2+S正方形BE2

（命题1.47）

∴S矩形AD×CD+S正方形BE2=S正方形BD2+S正方形BE2

（公理1.1）

∴S矩形AD×CD=S正方形BD2

（公理1.3）

证毕

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