很水的数学分析109：一般的范数和内积

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公理化定义度量、范数、内积。

1.范数定义

①跟度量的差别

（ⅰ）空间限制在线性空间，因为范数定义涉及加法、数乘。

（ⅱ）齐次性

②目前只研究实数域

2.用范数诱导的度量

①度量有很多种不是由范数诱导的，

由范数诱导的度量也不止一种。

②度量是由范数诱导的充要条件是平移不变性+绝对齐次性

3.实数域内的内积、内积空间定义。

回顾Cauchy—Schwarz不等式。

4.用内积诱导的范数。

由内积诱导的范数满足平行四边形等式。

5.Lᵖ范数，Lᵖ度量。

（再次指出，良定义性由Minkowski不等式保证）

p=2时通常度量，

p=1时Manhattan距离，

p→∞时叫Chebyshev距离或棋盘距离。

p变大，等距图变“凸”；

p变小，等距图变“凹”。

p＜1的时候不是范数、度量

范数不等式转化为‖α‖∞≤‖α‖₂≤‖α‖₁