一、e的由来

关于e的由来主要在两个方面：极限和积分

1.极限

众所周知，e是f(x)=(1+1/x)^x在x趋于正无穷时的极限，举一个通俗的例子，连续复利问题。

你在某一金融机构存款，它的年利率为100%，并且告诉你，可以随时存入取出，当你存入时间不足或超过一年时（设存入时间k年）该段时间下的利率仍为k。（取出与存入之间的时间忽略不计）

①1个小目标直接存一年

本金＆利息=f(1)e8=2 0000 0000

②1个小目标每半年取并存一次

本金＆利息=f(2)e8=2 2500 0000

③1个小目标每月取并存一次

本金＆利息=f(12)e8≈2 6130 3529

④1个小目标每天取并存一次

本金＆利息=f(365)e8≈2 7145 6748

⑤1个小目标每秒取并存一次

本金＆利息=f(3153 6000)e8≈2 7182 8178

与已经自然底数非常接近了

2.71828 18284 ...    e

2.71828 17853 ...    f(31536000)

这就是连续复利问题，当存取次数无穷多，时间间隔无穷小时，本金+利息=P*exp(rt)，P表示本金，r表示单位时间的利率(利息/本金)，t表示存放时间/单位时间。上述例子则是P=1e8,r=1,t=1时的特例。

2.积分

设函数g(x)=1/x，易证g(x)对x在[1,e]的积分为1

这就是自然底数的两个主流来源

二、函数性质

1.指对函数

众所周知，exp(x)在导数上具有极为特殊的性质，即n阶导数均为其本身（n∈N)，由此ln(x)的导数为1/x。并且与双曲函数紧密联系，其导数也较为特殊，还与物理学等领域有所关联，虽其重要程度远不及圆函数。

双曲函数的基本内容不多作说明，但是相信刚接触的时候对其形式为什么是这样会有疑问，这里提供一种证明方法以供参考。

将面积转变为着色区域对其积分，作为自变量解出双曲正弦表达式即可（换元解出双曲余弦），其过程枯燥且简单，此处省略。

2.复变函数

由于笔者的知识水平有限，这里只涉及十分基础的复分析。

复变函数中的欧拉公式是复变函数里极为重要的一个公式，其最主流的证明方式是利用极限证明。推导如下：

其将复指数与圆函数联系起来，构成了所谓的最美丽的数学公式。

exp(z)=exp(Re(z))*(cosIm(z)+sinIm(z)*i)

可以类比辅助角公式证明复对数，此处省略。

ln(z)=1/2ln(Re²(z)+Im²(z))+arctan(Im(z)/Re(z))i

此处提出一问题：ln(-a)等于多少（a∈R*)

答案附于文末

复数在许多物理领域均有运用，尤其是在目前的流体力学中复分析显得格外重要，自然底数也自然是其中最不可或缺的一部分。

3.极坐标方程

对数螺线r=exp(aθ)，又名等角螺线，著名的黄金螺线就是对数螺线，其在自然界中广泛存在（eg：鹦鹉螺的贝壳、菊的种子排列、蜘蛛网、旋涡星系的旋臂、气旋）

顾名思义，等角曲线上一点的与极点的连线与该点切线所成角为定值α，且cotα=a，此处给出两种较相似的证法以供参考。

正文完

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P.S.

ln(-a)的值（a∈R*）如果直接代入上文的复对数公式得：

ln(-a)=ln(a) ?!

显然不可能，这是因为忽略了反正弦的象限，正确如下：

ln(-a)=lna+πi

换个角度来看，

exp(πi)=-1 ⇒ ln(-1)=πi

ln(-a)=lna+ln(-1)=lna+πi

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