【数学基础58】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
参考资料：
《数学分析》（华东师范大学数学系 编）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）
数学分析——
例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——
求下述极限：lim[（n^2+n）^（1/2）-n].
解：
（n^2+n）^（1/2）-n
=n/[（n^2+n）^（1/2）+n]
=1/[（1+1/n）^（1/2）+1]；
lim[（n^2+n）^（1/2）-n]=lim {1/[（1+1/n）^（1/2）+1]}=1/2.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
证明若a，b，c为非零向量，则有|（a，b，c)|<=|a||b||c|，并叙述这个不等式的几何意义，再求等号成立的充要条件。
证明：
|（a，b，c)|
=|（axb)c|
=|axb||c||cos∠（（axb)，c）|
=|a||b||c||sin∠（a，b）cos∠（（axb)，c）|
<=|a||b||c|；
几何意义：以a，b，c为邻边的平行六面体的体积小于等于以|a|，|b|，|c|分别为长，宽，高的长方体的体积；
等号成立的条件：|sin∠（a，b）cos∠（（axb)，c）|=1，即a，b，c互相垂直。
高等代数——
例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——
设A是n阶方阵，A+E可逆，且f（A）=（E-A）（E+A）^（-1），试证明：
[E+f（A）][E+A]=2E.
f[f（A）]=A.
证：
[E+f（A）][E+A]
=[E+（E-A）（E+A）^（-1）][E+A]
=[E+A]+[E-A]
=2E；
f[f（A）]=（E-f（A））（E+f（A））^（-1），
（E+f（A））^（-1）=（E+A）/2，
f[f（A）]
=（E-f（A））（E+f（A））^（-1）
=（E-f（A））[（E+A）/2]
=[E-（E-A）（E+A）^（-1）][（E+A）/2]
=[（E+A）/2]-[（E-A）/2]
=A，证毕.
到这里！
