【种花家务·代数】2-1-05一元一次方程的解法『数理化自学丛书6677版』

2023-11-04 15:44 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程

§1-5一元一次方程的解法

1、一元一次方程的意义

【01】我们来看下面的几个方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%262x-7%3D5%2Bx%3B%5C%5C%0A%26%26%5Cfrac%7By-1%7D3%3D1-%5Cfrac%20y2%3B%5C%5C%0A%26%267(x-1)-5(x%2B2)%3D3(2x-1)%2B2(x-2).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【02】这些方程都只含有一个未知数，并且未知数的次数都只有一次。对于未知数来说，方程左右两边的代数式都是整式。

【03】对于未知数来说，方程左右两边的代数式都是整式的方程，叫做整式方程。只含有一个未知数，并且未知数的次数只有一次的整式方程，叫做一元一次方程。.

【04】例如，上面一些方程都是一元一次方程；而方程 x＋y＝4，x²＋x＝5，3/(y－1)＝1－2/y 等都不是一元一次方程。

【说明】在方程 x＋y＝4 里，有两个未知数 x 和 y，所以它不是一元一次方程。在方程 x²＋x＝5 里，虽然只有一个未知数 x，但是 x 的次数有 2 次的，所以他不是一元一次方程，在方程 3/(y－1)＝1－2/y 里，最然只有一个未知数 y，但是方程两边的代数式不都是整式，所以也不是一元一次方程。

习题1-5(1)

在下列方程里，哪些是一元一次方程？哪些不是？为什么？（题中字母 x,y 都表示未知数）

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%814y-7%3D5.%26%26%202%E3%80%81x%5E%7B2%7D%3D16.%20%20%5C%5C%0A%263%E3%80%81%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-1%3Dx%2B3.%26%26%204%E3%80%812x-y%3D1.%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%812x%3D0.%26%26%206%E3%80%81x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3D2%2C%20%20%5C%5C%0A%267%E3%80%813(2x-3)%3D5(x%2B1).%26%26%208%E3%80%81(x-1)%5E%7B2%7D%3D9.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【1、是；2、不是；3、是；4、不是；5、是；6、不是；7、是；8、不是】

【05】解方程的方法，就是根据方程的两个基本性质，把原方程逐步变形成比较简单的方程，直到最后得出象 x＝a 这样的最简单的方程。因为根据方程的两个基本性质所变形得来的方程，和原方程是同解方程，所以最后得到的方程 x＝a 的根 a，就是原方程的根。

【06】在解方程的时候，为了使计算方便，我们常常利用移项的方法，把方程中含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边。

【07】下面我们分别来研究数字系数的一元一次方程和含有字母系数的一元一次方程的解法。

2、数字系数的一元一次方程的解法

例1.解方程：4x＋1＝6x－5 。

【解】

移项，得 4x－6x＝－5－1

合并同类项，得－2x＝－6

两边都除以－2，得 x＝3 。

【08】为了检验解方程时计算有没有错误，可以把求得的根代替原方程里的未知数，检查方程左右两边的值是不是相等。如果相等，说明计算没有错误；如果不等，说明计算有错误，就应该重做。检验的方法如下：

【检验】用 3 代替原方程里的，得

左边＝4×3＋1－13，

右边＝6×3－5＝13，

∵ 左边＝右边，

∴ 3是原方程的根。

【注意】检验时左右两边应该分别计算，不能写成下面的形式：4×3＋1＝6×3－5，13＝13 。因为在检验时，左右两边的值是不是相等还没有确定，就不应该用等号把它们连结起来。

例2.解方程： $%5Cscriptsize%5Cfrac%20x%7B12%7D-1%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B15%7D$ 。

【分析】解这个方程的时候，要先算出方程里所有分母的最小公倍数，然后把方程的两边都乘以这个最小公倍数，使所得的方程不再含有分母。方程的这种变形叫做去分母。这个方程里分母的最小公倍数是60，所以我们按照下面方法来解方程。

【解】

去分母（两边都乘以60），得 $%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7B12%7D-1%5Cright)%5Ctimes60%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B15%7D%5Ctimes60$

就是 5x－60＝8x

移项，得 5x－8x＝60

就是－3x＝60

两边都除以－3，得 x＝－20 。

【检验】用－20 代替原方程里的 x，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%3D%5Cfrac%7B-20%7D%7B12%7D-1%3D-2%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%0A%26%26%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ctimes(-20)%7D%7B15%7D%3D-2%5Cfrac23.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

∵ 左边＝右边，

∴－20 是原方程的根。

例3.解方程 5(x－1)＝3(2－3x)－2(x＋5) 。

【解】

去括号，得 5x－5＝6－9x－2x－10

移项，得 5x＋9x＋2x＝6－10＋5

合并同类项，得 16x＝1

两边都除以 16，得 x＝1/16 。

【检验】用 1/16 代替原方程里的，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%20%3D5%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D-1%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B75%7D%7B16%7D%3D-4%5Cfrac%7B11%7D%7B16%7D%2C%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D%20%3D3%5Cleft(2-3%5Ctimes%5Cfrac%7B1.%7D%7B16%7D%5Cright)-2%5CBigl(%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%2B5%5CBigr)%3D-4%5Cfrac%7B11%7D%7B16%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

∵ 左边＝右边，

∴ 1/16 是原方程的根。

例4.解方程： $%5Cscriptsize%5Cfrac%7By-4%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B3y%7D%7B10%7D-1$ 。

【解】

去分母（两边都乘以 10），得 2(y－4)＝3y－10

去括号，得 2y－8＝3y－10

移项，得 2y－3y＝－10＋8

合并同类项，得－y＝－2

两边都乘以－1，得 y＝2 。

【检验】用 2 代替原方程里的 y，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Ctext%7B%E5%B7%A6%E8%BE%B9%7D%3D%5Cfrac%7B2-4%7D%7B5%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%2C%5C%5C%26%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Ctimes2%7D%7B10%7D-1%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

∵ 左边＝右边，

∴ 2是原方程的根。

例5.解方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3x%2B2%7D4-%5Cfrac%7B5x%2B1%7D2%3D2-%5Cfrac%7B7x-1%7D3$ 。

【解】

去分母（两边都乘以12），得 3(3x＋2)－6(5x＋1)－24－4(7x－1)

去括号，得 9x＋6－30x－6＝24－28x＋4

移项，得 9x－30x＋28x＝24＋4

合并同类项，得 7x＝28

两边都除以 7，得 x＝4 。

【检验】用 4 代替原方程里的 x，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Ctext%7B%E5%9C%A8%E8%BE%B9%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Ctimes4%2B2%7D4-%5Cfrac%7B5%5Ctimes4%2B1%7D2%3D-%5Cfrac%7B28%7D4%3D-7%2C%5C%5C%26%5Ctext%7B%E5%8F%B3%E8%BE%B9%7D%3D2-%5Cfrac%7B7%5Ctimes4-1%7D3%3D2-9%3D-7.%5Cend%7Baligned%7D$

∵ 左边＝右边，

∴ 4是原方程的根。

【注意1】去分母和去括号时要注意符号。

【注意2】本题中去括号后，方程左边有“＋6”和“－6”两项，显然，在合并同类项时可以消去，所以移项时，可以不列入计算，减少运算手续。

【09】从上面几个例子里解方程的过程，我们可以概括出解一元一次方程的一般步骤是：

(ⅰ)方程里如果有分数系数，先去分母；

(ⅱ)方程里如果有括号，先去括号；

(ⅲ)移项；

(ⅳ)合并同类项；

(ⅴ)方程的两边都除以未知数的系数。

【10】在解方程的时候，由于方程的形式不同，上面所说的几个步骤并不一定都要用到，并且也不定都按照上面的顺序进行演算。例如，例 1 就用不到去分母、去括号；例 2 就用不到去括号。

习题1-5(2)

解下列各方程，并且加以检验(1~22)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%8111x%2B42-2x%3D100-9x-22.%20%20%5C%5C%0A%0A%262%E3%80%818x-3%2B2x%2B1%3D7x%2B6-5x%2C%20%20%5C%5C%0A%0A%263%E3%80%812(5y-9)%2B2%3D2y.%20%20%5C%5C%0A%0A%264%E3%80%813(x-2)%3D5(2x%2B3).%5C%5C%0A%265%E3%80%8115-(7-5x)%3D2x%2B(5-3x).%5C%5C%0A%266%E3%80%814(2x%2B3)%3D8(1-x)-5(x-2).%5C%5C%0A%267%E3%80%816y-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%3D4y%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D.%5C%5C%0A%268%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%3D3x-1.%20%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cfrac%7B7-5x%7D3%3D%5Cfrac%7B5-2x%7D2.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81%5Cfrac%7B2x-1%7D6%3D%5Cfrac%7B5x%2B1%7D8.%20%5C%5C%0A%2611%E3%80%81x-%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B2%7D%3D2-%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7B3%7D.%5C%5C%0A%2612%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B4%7D-1%3D%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B6%7D.%20%5C%5C%0A%2613%E3%80%81%5Cfrac%7B3x-2%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B8-2x%7D%7B3%7D.%5C%5C%0A%2614%E3%80%81x%3D1%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B8%7D%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B16%7D.%20%5C%5C%0A%2615%E3%80%81%20%5Cfrac%7B2y-1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B3y-5%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7By%2B1%7D%7B6%7D%2B3%3D0.%20%20%5C%5C%0A%2616%E3%80%81%204x%2B3.14-2x-1.68%3D4.16-3x%2B2.85.%20%20%5C%5C%0A%2617%E3%80%81%205x-3(2x%2B1)%2B7x%3D6x-4(5-3x).%20%5C%5C%0A%2618%E3%80%817(2x-1)-3(4x-1)-5(3x%2B2)%2B1%3D0%20%5C%5C%0A%2619%E3%80%81%203-%5Cfrac%7B5-2y%7D%7B5%7D%3D4-%5Cfrac%7B4-7y%7D%7B10%7D%2B%5Cfrac%7By%2B2%7D%7B2%7D.%20%20%5C%5C%0A%2620%E3%80%81%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B3%7D%2B3%3D%5Cfrac%7B3x%2B5%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Bx-4%7D%7B6%7D-2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%20%20%5C%5C%0A%2621%E3%80%81%5Cfrac%7Bx%2B4%7D%7B5%7D-(x-5)%3D%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B2%7D.%20%5C%5C%0A%2622%E3%80%81%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D(y%2B1)-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(2y-1)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(3y-2)-%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

23、x 等于什么数值时，代数式 x－(1＋x)/3 的值等于 2？

24、x 等于什么数值时，代数式 (2x－3)/5 与 2x/3－3 的值相等？

【1、2；2、1；3、2；4、－3；5、－1/2；6、2/7；7、1；8、2/5；9、－1/4；10、－1；11、1；12、－17；13、2；14、16；15、5；16、1.11；17、1又5/12；18、－1；19、－3又1/4；20、－7又4/5；21、6；22、6又2/13；23、3又1/2；24、9】

例6.解方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5CBig%5B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%2B1%5Cright)%2B2%5CBig%5D-2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B3%7D$ 。

【解】去括号，得

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26%5Cscriptsize%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B2%5Cright%5D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B3%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%5Cright%5D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B3%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%2B4-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B3%7D%5C%5C%0A%26%26%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B3%7D%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

去分母（两边都乘以12），得 3x＋18＝8

移项并且合并同类项，得－5x＝－18

两边都除以－5，得 $%5Cscriptsize%20x%3D%5Cfrac%7B18%7D%7B5%7D-3%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D$ 。

【检验】后可以知道 x＝3(3/5)确实是本题所求的根。

【说明1】这个题目应该先去括号，化简后再行去分母，这样做，比较简便。

【说明2】前面所说的检验，虽然不是解方程中的必要步骤之一，但是为了检查计算有没有错误，读者还应该进行检验。除了按照上面的方式来检验外，也可以利用心算来检验。本书为了节省篇幅起见，以下各例检验都从略。

例7.解方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B2x%7D%7B0.3%7D%2B2%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1.4-3x%7D%7B0.2%7D%3D0$ 。

【分析】这个方程里，分母含有小数，并且还有分数，为了运算简便，可以先把分母上的小数化成分数，然后使分母变成整数，并且把带分数也化成假分数后再解。0.3＝3/10，所以2x/0.3＝20x/3； 0.2＝2/10，所以 (1.4－3x)/0.2＝(14－30x)/2； 2(2/3)＝8/3 。

【解】

原方程可以变形成为 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B20x%7D3%2B%5Cfrac83-%5Cfrac%7B14-30x%7D2%3D0$

去分母（两边都乘以 6），得 40x＋16－42＋90x＝0

移项并且合并同类项，得 130x＝26

两边都除以 130，得 x＝26/130＝1/5 。

【说明】方程的右边是 0，因为 0 乘以任何数的积总是 0，所以去分母后右边仍旧是 0 。

习题1-5(3)

解下列各方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81%7B2%5C%7B3%5B4(5x-1)-8%5D-20%5C%7D-7%3D1.%7D%5C%5C%0A%26%262%E3%80%81%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5CBig%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7Dx-1%5CBig)-6%5CBig%5D%2B4%5CBig%5C%7D%3D1.%7D%7D%5C%5C%0A%26%263%E3%80%81x-2%5Bx-3(x%2B4)-5%5D%3D3%5C%7B2x-%5Bx-8(x-4)%5D%5C%7D-2.%5C%5C%0A%26%264%E3%80%81x-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%7B3x%7D%7B2%7D%5Cright)-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(2-%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D%5Cright)%3D2.%20%5C%5C%0A%26%265%E3%80%812x-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(x-3)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cbiggl%5Bx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(3x%2B1)%5Cbiggr%5D.%20%5C%5C%0A%26%266%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-4%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(2x-1)%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5B(x%2B1)-2%5D%3D0.%5C%5C%0A%26%267%E3%80%811-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(x-%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(2x-%5Cfrac%7B10-7x%7D%7B3%7D%5Cright).%20%5C%5C%0A%26%268%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-1%7D%7B0.3%7D-%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7B0.5%7D%3D1.2.%20%5C%5C%0A%26%269%E3%80%81%5Cfrac%7B0.4x%2B0.9%7D%7B0.5%7D-%5Cfrac%7B0.03%2B0.02x%7D%7B0.03%7D%3D%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B2%7D.%20%5C%5C%0A%26%2610%E3%80%81%5Cfrac%7B1.8-8x%7D%7B1.2%7D-%5Cfrac%7B1.3-3x%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B5x-0.4%7D%7B0.3%7D%3D0.%5C%5C%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【1、1；2、5；3、6；4、2；5、－1又4/9；6、1又28/31；7、5/13；8、6.4；9、9；10、0.1】

【11】上面几个例子中，解方程的步骤都是按步标明，有利于正确掌握解方程的方法。但是在熟练以后，为了迅速运算起见，写法和步骤都可以简化，举例说明如下。

例8.解方程 (x－1)²－(x＋3)(x－3)＝(x＋1)(x＋2)－(x－1)(x＋4) 。

【解】

x²－2x＋1－(x²－9)＝x²＋3x＋2－(x²＋3x－4)

x²－2x＋1－x²＋9＝x²＋3x＋2－x²－3x＋4

－2x＋10＝6

－2x＝－4

∴ x＝2 。

【说明1】这个方程虽然形式上不是一元一次方程，但是经过简化以后，就成为一元一次方程，所以仍旧可以用一元一次方程的解法来解。

【说明2】在简化写法和步骤的时侯，必须特别注意去括号时各项的正负符号以及移项的法则。

例9.解方程 (2x－1)(4x²＋2x＋1)－(2x＋1)³＝1－12(x－2)³ 。

【解】

8x³－1－(8x³＋12x²＋6x＋1)＝1－12(x²－4x＋4)

8x³－1－8x³－12x²－6x－1＝1－12x²＋48x－48

－6x－2＝48x－47

－54x＝－45

∴ x＝5/6 。

【说明】演算本题时应该尽量利用乘法公式。如右边的 (2x－1)·(4x²＋2x＋1) 可以利用 (a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³ 的公式直接得出；(2x＋1)³ 和 (x－2)² 可以分别利用 (a＋b)³ 和 (a－b)² 的公式展开，不要硬乘出来。这样，可以一方面熟练巩固过去学过的乘法公式，另一方面可以简化运算过程。

习题1-5(4)

解下列各方程（可以用简化步骤演算）：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81(x-1)(5x%2B3)-3x(2x-1)%3D7-x%5E%7B2%7D.%5C%5C%0A%26%262%E3%80%81(2x-1)(x%2B7)-(3x-2)(x-4)%2B(x%2B5)(x-3)%3D0.%5C%5C%0A%26%263%E3%80%81(8x-5)%5E2-(7x%2B5)%5E2%3D15(x%5E2-10).%5C%5C%0A%26%264%E3%80%813(2x-1)%5E%7B2%7D-2(x-2)%5E%7B2%7D%3D10(x%5E%7B2%7D-2).%20%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cbiggl(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbiggr)%3D%5Cbiggl(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbiggr)%5E%7B2%7D.%20%20%5C%5C%0A%26%266%E3%80%81%5Cleft(1%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cleft(1%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)(3x-1).%20%5C%5C%0A%26%267%E3%80%81(x%2B2)%5E3-(x-2)%5E3%3D3(2x%2B3)(2x-3)-5x.%20%5C%5C%0A%26%268%E3%80%81(x-4)(x%5E%7B2%7D-2x%2B3)%3D(x-2)%5E%7B3%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【1、10；2、1又1/29；3、1；4、3又3/4；5、3/4；6、22/81；7、－8又3/5；8、－4】

3、含有字母系数的一元一次方程的解法

【12】前面我们所解的一些方程都是数字系数的方程，除了数字系数的方程，我们还经常会遇到具有字母系数的方程。例如在方程 ax＝b 里，把 x 作为未知数时，那末 a 作为 x 的系数，叫做 x 的字母系数。解含有字母系数的一元一次方程的步骤和解数字系数的一元一次方程的步骤是一样的，只是要注意用字母表示的那些已知数容许取的值有什么限制。现在举例来说明。

例10.解关于 x 的方程 ax＋b＝cx＋d（a≠c）。

【分析】在这个方程里，有五个不同的字母。所谓解关于 x 的方程，就是把 x 作为这个方程里的未知数，那末其余四个字母 a,b,c,d 就看做是已知数，其中 a 和 c 是 x 的字母系数。又，题目里注明一个条件 a≠c，因此，我们在解方程的过程中，就要根据这个已知条件进行演算。

【解】

移项，得 ax－cx＝d－b

合并同类项，得 (a－c)x＝d－b

因为 a≠c，所以 a－c≠0 。

方程的两边都除以 a－c，得 x＝(d－b)/(a－c) 。

【说明】根据题目条件 a≠c，所以 a－c≠0，也就是说，未知数的系数不等于零；因此，方程的两边才可以都除以 a－c 。如果没有 a－c≠0 这个条件，我们就不可以进行这样的演算。

【13】对于含有字母系数的一元一次方程，随着字母之间关系的不同，它的解可以有三种不同情况。例如，方程 ax＝b 的解有下列三种情况：

(1) 如果 a≠0，那末 x＝b/a 。就是说，方程 ax＝b 有一个解。

(2) 如果 a＝0,b＝0，那末原方程变成 0·x＝0，所以 x 可以取任意值，我们说，方程 ax＝b 有无限多个解。

(3) 如果 a＝0,b≠0，那末方程变成 0·x＝b，所以 x 不论取什么值，都不能适合这方程，我们说，方程 ax＝b 没有解。

例11.解关于 x 的方程 ax－b＝cx＋d，并且加以讨论。

【解】移项并且整理后，得 (a－c)x＝b＋d 。

【讨论】

(1) 如果 a≠c，那末 a－c≠0，所以这个方程有一个解，这个解是 x＝(b＋d)/(a－c)

(2) 如果 a＝c，b＝－d，那末 a－c＝0，b＋d＝0，所以这个方程有无限多个解。

(3) 如果 a－c，,b≠－d，那末 a－c＝0，b＋d≠0，所以这个方程没有解。

例12.解关于 y 的方程 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7By-b%7Da%3D2-%5Cfrac%7By-a%7Db$ （a＋b≠0）。

【分析】根据题意，a 和 b 都不能等于零（因为如果 a 或者 b 等于零，分式 (y－b)/a 或者 (y－a)/b 就没有意义，那末原方程也就没有意义），因此，ab≠0 。

【解】

去分母（方程两边都乘以ab），得 b(y－b)＝2ab－a(y－a)

去括号，得 by－b²＝2ab－ay＋a²

移项，得 ay＋by＝a²＋2ab＋b²

合并同类项，得 (a＋b)y＝(a＋b)²

因为 a＋b≠0，方程的两边都除以 (a＋b)，得 y＝a＋b 。

习题1-5(5)

1、由等式 ad＝bc，(a,b,c,d 都不等于零)：(1)用 b,c,d 表示 a；(2)用 a,b,d 表示 c；(3)用 a,b,c 表示 d 。[解法举例：(1) 把 a 看做未知数，b,c,d 看做已知数，那末这个等式可以看做关于 a 的一元一次方程。两边都除以 d，得 a＝bc/d】

2、在等式 v＝s/t 中，v 表示速度，s 表示走过的距离，t 表示行走的时间。设 v 和 t 都是已知数，求 s 。

解下列关于 x 的方程(3~11)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%263%E3%80%813a%2B4x%3D7x-6b.%5C%5C%0A%26%264%E3%80%81(n-1)x%3Dn(n%2Bx).%20%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81(m%2B1)(x-1)%3D(m-1)(x%2B1).%20%20%5C%5C%0A%26%266%E3%80%813ax%2Bb%3D2ax%2Bc(a%2B0).%20%5C%5C%0A%26%267%E3%80%81mx-n%3D2x-3%5E(m%5Cneq2).%20%5C%5C%0A%26%268%E3%80%81a(x-a)%3Db(x-b)(a%5Cneq%20b).%5C%5C%0A%26%269%E3%80%813cx-5a%2Bb-2c%3D6b-(a%2B3bx%2B2c)%5Cquad(b%5Cneq-c).%5C%5C%0A%26%2610%E3%80%81(b-c)(a-x)%2B(c-a)(b-x)%2B(a-b)(c-x)%3D1-x.%5C%5C%0A%26%2611%E3%80%81(x%2Ba%5E%7B2%7D)(x%2Bb%5E%7B2%7D)%3D(x%2Bab)%5E%7B2%7D(a%2Bb).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

12、

(1) 由 v＝v₀＋at，用 v，v₀，a 表示 t；

(2) 由 v²＝2as，用 v，a 表示 s；

(3) 由 F＝f·m₁m₂/r²，用 F,f,m₁,r表示 m₂ 。

13、解下列各方程：

(1) y＝mx＋b，x 是未知数，m≠0；

(2) ax＋by＋c＝0，y 是未知数，b≠0；

(3) $%5Cscriptsize%20s%3Dvt%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dat%5E%7B2%7D$ ，v 是未知数，t≠0；

(4) $%5Cscriptsize%20s%3Dvt%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dat%5E%7B2%7D$ ，a 是未知数，t≠0 。

解下列各方程，方程中 x，y，z，t 是未知数(14~19)：

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%2614%E3%80%81x-%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%3Da%5Cquad(a%5Cneq1).%20%20%5C%5C%0A%26%2615%E3%80%81%20y%2B%7B%5Cfrac%7Bmy%7D%7Bn%7D%7D%3Dm%2Bn%5Cquad(m%2Bn%5Cneq0).%20%5C%5C%0A%26%2616%E3%80%81%20%5Cfrac%7Bt%7D%7Ba%7D-b%3D%5Cfrac%7Bt%7D%7Bb%7D-a%5Cquad(a%5Cneq%20b).%20%20%5C%5C%0A%26%2617%E3%80%81%7B%5Cfrac%7Ba%2Bbx%7D%7Ba%2Bb%7D%7D%3D%7B%5Cfrac%7Bc%2Bdz%7D%7Bc%2Bd%7D%7D%5Cquad(ad%5Cneq%20bc).%20%5C%5C%0A%26%2618%E3%80%81%5Cfrac%7Bt%7D%7Ba-b%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7Ba%2Bb%7D%3D%5Cfrac%7B2bt%7D%7Ba%5E2-b%5E2%7D%5Cquad(a%5Cneq%20b).%5C%5C%0A%26%2619%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-n%7D%7Bac%7D%2B%5Cfrac%7Bx-n%7D%7Bbc%7D%3D%5Cfrac%7Bx-n%7D%7Bab%7D%5Cquad(a%2Bb%5Cneq%20c).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

20、解关于 x 的方程 $%5Cscriptsize%20%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bm%7D%7D-%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D%7D%3D1$ ，并且加以讨论。

【答案】

$%5Csmall%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.(2)%5Cquad%20c%3D%5Cfrac%7Bad%7Db%2C%5Cquad(3)d%3D%5Cfrac%7Bbc%7Da%3B%5Cquad2.%5Cquad%20s%3Dvt%3B%5Cquad3.%5Cquad%20a%2B2b%3B4.%5Cquad-n%5E2%3B%20%5C%5C%0A%26%265.%5Cquad%20m%3B%5Cquad6.%5Cquad%5Cfrac%7Bc-b%7Da%3B%5Cquad7.%5Cquad%5Cfrac%7Bn-3%7D%7Bm-2%7D%3B%5Cquad8.%5Cquad%20a%2Bb%3B%5Cquad9.%5Cquad%5Cfrac%7B4a%2B5b%7D%7B3(b%2Bc)%7D%20%5C%5C%0A%26%2610.%5Cquad1%3B%5Cquad11.%5Cquad0%3B%5Cquad12.%5Cquad(1)%5Cquad%20t%3D%5Cfrac%7Bv-v_0%7Da%2C%5Cquad(2)%5Cquad%20s%3D%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7B2a%7D%2C%20%20%5C%5C%0A%26%26(3)~m_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BFr%5E%7B2%7D%7D%7Bfm_%7B1%7D%7D%3B~13.~(1)~x%3D%5Cfrac%7Bu-b%7D%7Bn%7D%2C~(2)~y%3D-%5Cfrac%7Bax%2Bc%7D%7Bb%7D%2C%5C%5C%0A%26%26(3)v%3D%5Cfrac%7B2s-at%5E%7B2%7D%7D%7B2t%7D%2C%5Cquad(4)a%3D%5Cfrac%7B2s-2vt%7D%7Bt%5E%7B2%7D%7D%3B%5Cquad14.%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Bx-1%7D%3B%5Cquad15.n%3B%5C%5C%0A%26%2616.%5Cquad%20ab%3B%5Cquad17.%5Cquad1%3B%5Cquad18.%5Cquad3%3B%5Cquad19.%5Cquad%20n%3B%5C%5C%0A%26%2620.%5Ctext%7B%E5%A6%82%E6%9E%9C%20%7Dn%5Cneq%20m%2C%5Cquad%20x%3D%5Cfrac%7Bmn%7D%7Bn-m%7D%3B%5Ctext%7B%E5%A6%82%E6%9E%9C%20%7Dn%3Dm%3D0%5Ctext%7B%2C%E6%97%A0%E6%95%B0%E5%A4%9A%E4%B8%AA%E8%A7%A3%3B%E5%A6%82%E6%9E%9C%20%7Dn%3Dm%5Cneq0%5Ctext%7B%2C%E6%97%A0%E8%A7%A3%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

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【种花家务·代数】2-1-05一元一次方程的解法『数理化自学丛书6677版』

习题1-5(1)

习题1-5(2)

习题1-5(3)

习题1-5(4)

习题1-5(5)