《虚数不虚》第二节：虚数如何被发现的故事
上一次，我们讲到了虚数如何帮助我们解决方程式x²+1=0看似无解的问题，以及他们被人类忽略了数千年才被接纳的事实。毕竟，他们真的很抽象。
但是五个世纪前，欧洲发生了一件事，以致于数学家们不能再忽略虚数了，故事的主角是一位意大利数学家，他的名字是希皮奥内·德尔·费罗(Scipione del Ferro)，他要解决的一个你我都很熟悉问题。
在此之前，你应该知道二次方程的求根公式，任何二次方程都可以用这个公式找到根(解)，你只需要把已知的系数分别代入a、b、c中，化简就能得到答案。
费罗希望能够找到三次方程式（ax³+bx²+cx+d=0）的求根公式，由于三次方程的一般式有些复杂，所以费罗只考虑了除二次项外且常数项小于0的情形，由于当时的数学家还不习惯负数，所以费罗最后把它写成x³+cx=d，其中c、d都是正数。现在我们的目标是让x在等号左侧，而所有的常数在等号的右侧。在一次方程式来说这很简单，只要四则运算就可以办到。二次方程式则稍微复杂些，这需要利用配方法配出完全平方才能得到其求根公式。费罗想要在三次方程式找出类似的方法，通过技巧，他找到了求根公式。就像二次方程的求根公式，他的公式一样可以通过代入系数求出根。
在16世纪的西方数学界，比拼之风盛行，双方相互给对方出题，谁先回答完对方所提出的问题，谁便胜利。所以费罗为了在以后的比拼中取胜，没有公开他的公式。
直到后来，有一位数学家卡丹(Cardan)从另一位数学家塔格塔利亚(Niccolo Fontana Tartaglia)得知了求根公式，他发现这个公式的原创者其实是费罗。最后他在自己的着作《Ars Magna》中公开了此公式（于是后人也称该公式为卡丹公式）。
卡丹改良了公式，新的求根公式包含了有x²项的情形，然而问题并没有就此解决：在原本的方程式x³=cx+d，当c、d满足特定的情况时，公式失效了。
注：即(d/2)^2+(c/3)^3<0。推导详见练习题的最后一题
我们来看个实例：x³=15x+4。带入求根公式后，我们会发现根号内出现了负数！这意味着要求的数相与自己相乘后应该等于根号内的数才对，比如根号121等于11，-11，因为它们与自己相乘后等于121。
但什么数字的平方是-121?显然正负都不行，我们没辙了。
卡丹诺也没辙了，他也不知道去哪找这样的数字，
其实这种根号下出现负数的情况数学家们早就见过，在此之前数学家们会说它无解，虽然很多时候这不影响结果，然而，三次函数的图形决定了三次方程式至少有一个解，因为不论系数为何，三次函数至少会穿过x轴一次。
现在摆在我们面前的是一道有解的题目，而且我们也知道他的公式解，但当我们带入求解公式时，我们马上会遇到一道难以逾越的鸿沟——根号下的负数。
有时候科学、数学定理的失效，意味着它本身并不完美。有趣的是，在这些失效的地方下可能埋藏着开启新世界的钥匙。卡丹诺如何绝境逢生，把失效的公式复活，我们下集待续。
练习题（节选）
1.二次方程的求根公式究竟强大在哪里（与作图法相比）？
优点一：无需画图。只需把系数代入公式，化简即可，可以在电脑上实现自动化求解。
优点二：适用范围广。当二次方程的根为无理数或者是复数时，作图法不再有效，而求根公式仍能求解。
2.请推导x³+cx=d的求根公式
分析与解答
要推导出x³+cx=d的求根公式，尝试将其配成(x+e)³=f是不可行的！
为了寻找方法，让我们首先研究两个数和的立方的展开式(u+v)³
(u+v)³=u³+v³+3uv(u+v)
移项，得：
(u+v)³-3uv(u+v)=(u³+v³)
可以看到，这与我们要求的式子是同构的。只要令x=u+v，3uv=-c，u³+v³=d，上式就转为x³+cx=d
因此，我们的目标简化为根据以下两个方程组：
3uv=-c，(u³+v³)=d
求出u和v，代入x=u+v便能得到x的求根公式。
v用u、c表示，然后将其代入u³+v³=d，得
这是一个“二次”方程，代入二次方程的求根公式，解出
（舍去负解）
代入，解出：
注：我们可以看到，u³与v³其实是这个“二次”方程的两个解！这告诉我们如果u取负解，那么求出的v必然是这个方程的正解。就像磁铁的南北极一样，u，v的地位是等价的
最后，把解出来的u³与v³分别开立方根，代入x=u+v便得到大名鼎鼎的卡丹公式！
3.当c、d满足什么条件时，结果会出现根号下有负数的情形？此时，方程有多少个实数解？
答：从刚才的推导结果容易看出条件是(d/2)^2+(c/3)^3<0，实际上这个方程有三个实数解，而且这三个实根之和为零。
一般的，我们把(d/2)^2+(c/3)^3称作三次方程的判别式，正如二次方程的判别式一样，我们可以根据它来判别三次方程有多少（实）根。
推荐阅读：关于一元三次方程的求解以及相关的数学历史
译于2022年10月
翻译不易，理解更不易，感谢支持！
