量力学的量子力学（家庭版）：非局域游戏

在上一篇文章量力学的量子力学（家庭版）：贝尔不等式中，我们用通俗的语言为大家介绍过了贝尔不等式的某一个变形。在此我先帮大家回忆回忆。为了验证张三和李四两个神棍是否拥有神秘的量子科技，我们用CHSH游戏考验张三和李四。我们分别给各张三和李四一个或是0或是1的数字，然后让他们分别各回答一个或是0或是1的数字。如果我们给的其中一个数字是0，那么张三和李四需要回答相同的数字以获胜；如果我们给的两个数字都是1，那么张三和李四需要回答不同的数字以获胜。如果张三和李四两个神棍只掌握经典科技，那么他们在这个游戏中获胜的概率是75%；如果他们确实掌握神秘的量子科技，那么他们在这个游戏中获胜的概率是85%。我们可以通过他们的获胜概率是不是超过0.75接近0.85来确定他们是不是掌握神秘的量子科技。

今天我们就来为大家介绍更为丰富多样的类似于CHSH游戏的其他游戏，我们称之为非局域游戏。我们考虑张三、李四、王二麻子等等许多神棍宣称自己有神秘的量子科技，我们希望和这些神棍们进行非局域游戏，来看看他们到底是只掌握经典科技的假神棍还是掌握量子科技的真神棍。我们还是先把张三、李四、王二麻子等等这些神棍分开关押；然后，我们给这些神棍每人一个可以是0、1、2等等的数字，并要求这些神棍立刻回答一个可以是0、1、2等等的数字；最后，我们还是依据一些获胜条件判定这些神棍们是否获胜——这些获胜条件需要设置的非常巧妙，要求如果我们只改变给其中一个神棍的数字，那么所有神棍需要回答的数字都需要改变，这样神棍们就没有办法通过提前商定好策略来100%地获得胜利。这种情况下，只掌握经典科技的神棍们获胜概率比掌握量子科技的神棍们获胜概率低得多，我们就可以通过神棍们的获胜概率高不高推测他们是否拥有量子科技。

下面我们给出几个具体的例子。第一个例子当然就是我们已经熟悉的CHSH游戏啦！这里我们把CHSH游戏表达为2×2魔方游戏。具体而言，我们会要求张三在魔方中的第一列或者第二列填入或为0或为1的数字，要求李四在魔方中的第一行或者第二行填入或为0或为1的数字，并且我们有额外要求——第一列两个数相同，第二列两个数不同；第一行两个数相同，第二行两个数相同。张三和李四的获胜条件是，他们填入的行和填入的列交叉处的数字相同——比如张三填了第一列，李四填了第二行，那么只有他们填的第一列第二行的数字相同时，他们才能赢。

聪明的小朋友可能已经看出问题来了：我们不可能找到一个魔方的填法，使得对于每行和每列的四个条件同时满足！所以，如果张三和李四没有神秘的量子科技，那他们不可能提前商量好一个魔方的填法，同时满足所有四个条件，然后被我们问到了就按照这个填法填！他们只能给出一个只填完三个数的魔方，剩下一个他们也不知道怎么填的数，就填一个不同的数以满足他们各自的列或行的条件，并且祈祷我们问的行和列的交叉点不是那个不同的数——最终他们的获胜概率只有75%！相反，如果他们有量子科技，就可以利用上回书（插入链接）提到的一个最大纠缠态，获胜概率有85%！

另一个好例子就是3×3魔方游戏。在3×3魔方游戏里，我们同样要面对张三和李四两个神棍。我们会要求张三在魔方中的第一列，第二列或者第三列填入或为0或为1的数字，要求李四在魔方中的第一行，第二行或者第三行填入或为0或为1的数字。我们额外要求每一列有奇数个1，每一行有偶数个1。张三和李四的获胜条件是，他们填入的行和填入的列交叉处的数字相同。

由我们对于每一列的要求可以推出，魔方中有奇数个1；但同时，由我们对每一行的要求可以推出，魔方中有偶数个1——矛盾！所以张三和李四找不出来一种填法，可以满足我们对于列和行的所有要求。如果张三和李四只掌握经典科技，那张三和李四只能商量好一个只填了八个数的魔方，剩下那个不好填的数，他们就按照他们各自需要满足的列和行的条件填不同的数，并且希望我们问的列和行交叉的数千万不要是那个不同的数。最终他们获胜的概率只有89%。然而，如果张三和李四掌握了神秘的量子科技，他们可以利用两个最大纠缠态保证他们获胜的概率为100%——多么有趣，量子科技可以让张三和李四每次都填对一个不可能填对的魔方~

最后，我们再来介绍另外一个三方的3×3魔方游戏。这个3×3魔方游戏包含张三、李四和王二麻子三个神棍。在这个三方的3×3里，我们对张三和李四的要求和之前的那个双方的3×3游戏完全一样——也就是说，我们要求张三（李四）往魔方里填某一列（某一行），并且要求魔方中的每一列（每一行）有奇数个（偶数个）1；同时，我们要求王二麻子给出张三填入的那列和李四填入的那行交叉的那个位置的数。张三、李四和王二麻子获胜的条件是，张三、李四和王二麻子能够一致给出一个相同的数，填在张三填的列和李四填的行的交叉位置。很不幸，在这个3×3游戏里，神秘的量子科技并没有什么用——无论三个神棍用的是经典科技还是量子科技，他们的获胜概率都是89%（目前还没有解析方法证明这件事，但是据我所知数值模拟可以给出这个结果）。有的小伙伴可能很疑惑，为什么在这里神秘的量子科技里最特殊的最大纠缠态怎么没用了呢？粗略来说，这是因为最大纠缠态是一个只在两方之间才能有的非常特殊的量子态，我们没有办法也在三方之间建立一个最大纠缠态，所以在这种情况下量子科技没办法超越经典科技。

最后的最后，很多小伙伴们可能非常疑惑，这些非局域游戏，不就填个魔方吗，有什么鸟用，值得研究吗？事实上，这些魔方游戏恰恰就是出现在现阶段最可能率先大规模商业化的量子科技中的~它大量出现在量子密钥分发协议中！提前挖个坑，我们下一期就来仔细说道说道，这个最可能落地的量子科技——量子密钥分发！

注释：

非局域游戏 nonlocal game

CHSH游戏 Clauser-Horne-Shimony-Holt game

魔方游戏 magic square game

GHZ游戏 Greenberger–Horne–Zeilinger game

参考文献：

Adamson, Sean A., and Petros Wallden. "Quantum magic rectangles: Characterization and application to certified randomness expansion." Physical Review Research 2.4 (2020): 043317.