说明：由于面向大二学生，数值分析和微分方程数值解课程仍未学（大三开设），仅以简单的数值分析内容为例，目的是MATLAB如何根据原理编写算法，以及MATLAB本身语言的程序设计思路和语法知识。

      学习面向未来，本科阶段不仅仅打下良好的理论基础，也应在本科阶段打下良好的编码基础，不至于把编码这个不大的问题交给未来。计算数学是基础数学应用到科技创新的必由之路，尤其是国家层面的科技，更包括社会各行业的智能计算。

        对于复杂方程 ，具体求根通常分两步走：先用适当方法获得根的某个初始近似值 ；然后再反复迭代，将逐步加工成一系列近似根，直到足够精确为止。

1.  不动点迭代法

       不动点迭代法又称为 皮卡（Picard ）迭代法、 逐次逼近法，不动点迭代法是求方程在某区间内单根的近似值的重要方法。

        用不动点迭代法求方程 的单根的主要步骤为：

     （1）把 变形为 ，称为迭代函数。

     （2）以为迭代公式，以附近的某一个值为迭代初值，反复迭代，得到迭代序列： 。

     （3）若此序列收敛，则必收敛于精确根 ，即。

       方程 到 的变形不唯一。迭代公式不同或迭代初值不同，迭代过程有的收敛，有的不收敛。

       不动点迭代法的收敛性分析（略去）。

2. 埃特金加速法

        埃特金（Aitken）加速法用来加快不动点迭代法的收敛速度。先用不动点迭代法算出序列，再对此序列作修正得到，具体方法：

       用埃特金加速法对不动点迭代法迭代过程加速得到的迭代序列记为，则计算出、、 后，对作以下修正：

然后用来逼近方程的根。

3. 斯特芬森加速法

        埃特金方法不管原序列是怎样产生的，对进行加速计算，得到序列。如果把埃特金加速技巧与不动点迭代法结合，则可得到如下的迭代法：

称为斯蒂芬森（Steffensen）迭代法。斯蒂芬森迭代法是二阶收敛的。

4. OOP的继承与多态

4.1 继承   

       定义一个 class 的时候，可以从某个现有的 class 继承，新的class 称为子类（Subclass），而被继承的class 称为基类、父类或超类（Base class、Super class）。

      父类和子类的关系是一般和特殊的关系。例如水果和苹果的关系，苹果继承了水果，苹果是水果的子类，则苹果是一种特殊的水果。

       从子类的角度看，子类扩展（extend）了父类；但从父类角度看，父类派生（derive）出子类。也就是说，扩展和派生所描述的是同一个动作，只是观察角度不同而已。

       多继承增加了编程了复杂度，尽量避免在MATLAB算法设计中使用多继承，而是使用单继承，可以保证编程思路更清晰，避免更多麻烦。

       在设计Aitken类时，则继承了Picard类，Picard类称为父类，Aitken类为子类。语法格式

      子类除继承父类的非私有属性外，仍可定义自己独特的属性，如增加一个迭代时间属性变量time

      MATLAB中继承的特点：

    （1）在继承中，基类的构造方法不会自动调用，需要在子类的构造方法中专门调用。

    （2）在调用基类的方法时需要加上self（因为本算法统一采用self表示当前类）前缀，后面为符号“@”（表示引用父类构造函数）和父类名称，以及父类的参数。

    （3）在 MATLAB 中，首先查找对应类型的方法，如果在子类中找不到对应的方法，才到基类中逐个查找。如测试代码中：aitken.plot_x_eps_curve(true) ，子类无定义，则在父类中查找。

    （4）子类获得了父类全部非私有的功能。子类不能继承父类中的私有方法，也不能被调用父类的私有方法。对于父类中扩展的非私有方法，子类可以拿来即用。

4.2 多态

      多态性是指具有不同功能的函数可以使用相同的函数名，这样就可以用一个函数名调用不同内容的函数。在面向对象方法中一般是这样表述多态性：向不同的对象发送同一条消息，不同的对象在接收时会产生不同的行为（即方法）。也就是说，每个对象可以用自己的方式去响应共同的消息。所谓消息，就是调用函数，不同的行为就是指不同的实现，即执行不同的函数。

       多态性的优点：

     （1）增加了程序的灵活性：以不变应万变，不论对象千变万化，使用者都是同一种形式去调用；

     （2）增加了程序额可扩展性。

      如在Aitken类中重写了父类方法solve_nlinear_equ，同名方法iterative_output内部引用父类方法并传参。

5. Picard迭代法OOP设计（完整代码）

       基类设计中，所有属性的权限为protected，若为private，则子类无法继承。设置为protected，类外不能被引用，但子类可以。

6. Aitken加速法OOP设计，继承Picard迭代法（完整代码）

        继承父类PicardSolveNLEqu，并重写了父类方法solve_nlinear_equ；同名函数iterative_output中调用父类的同名函数，并传参；完整继承父类的plot_x_eps_curve方法。

7. 案例测试

例1：用迭代法求方程在区间内的实根。其迭代函数构造形式有三种，如下：

（1） ；

（2）；

（3），不收敛。

Picard迭代法测试代码如下，文件命名为test_picard.m

求解结果，此处不给出迭代过程的输出。

可视化图象

Aitken加速迭代法测试代码如下，文件命名为test_aitken.m

输出结果如下：增加了一项time的计算（迭代速度较快，若time为0，可多次运行）。

可视化图象：

第二种迭代函数形式的测试：

可视化图象，由于迭代次数较多，不再标记marker：

Aikten加速迭代法测试代码，由于迭代速度较快，设置精度1e-20.

可视化图象