挺有用的常微分方程（四）
叮！您订阅的常微分方程更新啦！
简单介绍过很多代数学的概念之后，我们现在已经可以开始深入研究常微分方程的很多内容了。上一篇专栏里我们研究了特征根为单根的常系数线性微分方程的解的结构与性质。那么这一次，我们接着来研究特征根含重根的常系数线性微分方程。
Chapter Three 常系数线性方程
3.2 常系数齐次线性方程（重根情形）
（上一篇竟然连标题都打错了……）
与单根相比，重根的情况变化主要体现在，在通解的表达式当中，出现了有几个指数函数完全一致的情况，从而导致它们的系数可以合并。这使得通解的表达当中的指数函数的个数减少了。那么，此时，具有这种单纯的指数函数的线性组合这一形式的解是否还能包含全部的可能解？换句话说，就是现在这个形式还是不是微分方程的通解？
麻烦的是，一般来讲答案是否定的。我们从下面这个简单的微分方程就可以看出来：
显然，特征值为。如果我们认为对于单根情形的结论仍旧有效，那么它的特解应该表示成为
。但是，我们又能得到：
利用常数变易法，我们能够直接解得：
显然，对于单根情形成立的结论此时不再成立了。所以我们就要重新寻求对于重根情形而言的通解表达式。
从上面的例子当中，我们看到，该微分方程的解由两部分组成：
这启发我们，或许问题的突破口在于t的来源。
而我们有提到过，对于任意两个常系数线性微分方程的解，它们的加减仍是方程的解。所以，我们能够得到：
也是该方程的解。（常数为方程的特征根。）
当我们让这两个特征值不断接近的时候，特征方程的单根就会变为重根。此时，我们得到了：
那么，这个极限函数应该也是微分方程的解。这恰好与我们解出来的结果一致。
如果某个特征根是特征方程的三重根，那么就应该有三个单根不断接近。这个时候，我们可以构造解：
为了简便起见，我们令：
于是我们得到：
（略去了计算过程，但实际上不难证明这是一个关于λ的二阶导数。）
于是我们就猜测，对于k重根而言，属于该重根的基本解为：
所以通解的可能形式为：
接下来的研究思路还是一样的。首先要研究一下，这一形式是否确为通解（这一形式确为解，且所有的解都能被表示为这种形式）；接着，我们来研究解的性质，比如复合之类的。
如果我们所给出的形式确实是微分方程的解，那么对于该形式的解是否为通解，我们显然依旧可以通过解线性方程组的方式，利用代数学的基本理论给出肯定答案。于是，现在我们需要考虑的是，是否确实这样的表达式确为方程的解呢？
显然，依据定义，我们应该要验证：
考虑到微分算子的递推关系：
这提醒我们可以使用归纳法证明结论。事实上，当l=1时，有：
l=2时，有：
不难归纳出以下结论：
我们接下来只要证明：
即可证明该结论。
显然：
这就完成了证明。
更一般的情况是：
将换成一般的满足条件的函数
，就有：
这称为平移公式。
有了平移公式，我们就能够很容易地得到：
也就是：
考虑到是微分方程的k重特征根，于是应该有：
于是就有：
由于，于是显然就有：
于是我们就证明了：
确实为微分方程的解。至于是否是通解，我们已经给出说明了。
思考：
解微分方程：
（1）
；
（2）
；
试探究方程的解为实值解时的充分必要条件。
最後の最後に、ありがとうございました！
