复习笔记Day111：概率论知识总结(二)

2023-03-02 14:42 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

第四章数学期望

§4.1 期望的定义和性质

定义4.1.1 如果 $%5Cxi$ 是简单随机变量，那么称（泛函？）

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3A%3D%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7Bx%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$

为 $%5Cxi$ 的数学期望

引理4.1.1 如果 $x_i%5Cin%20R$ ， $A_i$ 上 $%5Cxi%20%3Dx_i$ ， $i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%20%2Cn$ ， $A_i$ 是样本空间的一个有限划分，那么

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i1_%7BA_i%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_i%20%5Cright)%7D$

引理4.1.2 设 $%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BS%7D$ ，其中 $%5Cmathbf%7BS%7D$ 是简单随机变量全体，那么

(1)如果随机变量非负，那么其期望也非负;(2) $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20a%5Cxi%20%5Cright)%20%3Da%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20$ ;(3)若 $A%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20$ ， $%5Cmathbb%7BE%7D%201_A%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20$ ;(4) $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%2B%5Ceta%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%2B%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20$ ;(5)如果 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cne%200%20%5Cright)%20%3D0$ ，则 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D0$

推论4.1.1 任取事件 $%5Cleft%5C%7B%20A_k%3A1%5Cle%20k%5Cle%20n%20%5Cright%5C%7D%20$ 与数 $%5Cleft%5C%7B%20x_k%3A1%5Cle%20k%5Cle%20n%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i1_%7BA_i%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7Bx_i%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A_i%20%5Cright)%7D$

引理4.1.3 如果 $%5Cxi%20_1%2C%5Cxi%20_2$ 独立，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%5Cxi%20_2%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_1%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_2$

接下来的内容就和实变函数很像了，在实变函数中，为了研究可积函数，是先从简单可测函数开始，逼近正的可测函数，最后再研究一般的可测函数的可积性

（注意上面的期望是对于简单随机变量而定义的）

定义4.1.2 设 $%5Cxi$ 是非负随机变量，定义 $%5Cxi$ 的期望为由它控制的非负简单随机变量变量的期望的上确界

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cmathrm%7Bsup%7D%5Cleft%5C%7B%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20%3A0%5Cle%20%5Ceta%20%5Cle%20%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BS%7D%20%5Cright%5C%7D%20$

（ $%5Cmathbf%7BS%7D$ 和上面的定义是一样的）如果 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3C%5Cinfty%20$ ，就称 $%5Cxi$ 可积。用 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3BA%20%5Cright)%20$ 表示 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Ccdot%201_A%20%5Cright)%20$ ，即把求期望这个操作限制在子集 $A$ 上

定理4.1.1(Levy单调收敛定理)

（不会打法文）

(1)如果 $0%5Cle%20%5Ceta%20%5Cle%20%5Cxi%20$ ，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20%5Cle%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20$ ;(2) $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是递增收敛于 $%5Cxi$ 的非负随机变量列，那么 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20$ ;(3)非负随机变量总可以表示成递增的非负简单随机变量序列的极限

(2)的证明思路：对于任意（取定的） $0%3Ca%3C1$ ，成立 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%5Cge%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20_n%3BA_n%20%5Cright)%20%5Cge%20a%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Ceta%20%3BA_n%20%5Cright)%20$ ，其中 $A_n%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%5Cge%20a%5Ceta%20%5Cright%5C%7D%20$ ，那么 $A_n%5Cuparrow%20%5COmega%20$ ，进而 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%5Cge%20a%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20$ ，根据 $a$ 的任意性有 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n%5Cge%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20$

定义了非负随机变量的可积和期望后，就可以定义一般的随机变量的可积和期望，具体方法就是记 $%5Cxi%20%3D%5Cxi%20%5Ccdot%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%3E0%20%5Cright%5C%7D%7D-%5Cleft(%20-%5Cxi%20%5Ccdot%201_%7B%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%3C0%20%5Cright%5C%7D%7D%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cxi%20%5E%2B-%5Cxi%20%5E-$ 。其中第一项和第二项叫正项和负项，如果它们都可积的话，就称 $%5Cxi$ 可积，此时定义 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E%2B-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E-$

推论4.1.2 把引理4.1.2推广到了一般的随机变量

定理4.1.2 设 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是随机变量序列

(1)( $%5Ctext%7BFatou%7D$ 引理) 设 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是非负的，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Cunderline%7B%5Clim%20%7D%7D%5Cxi%20_n%20%5Cright%5D%20%5Cle%20%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Cunderline%7B%5Clim%20%7D%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5D%20$

(2)( $%5Ctext%7BLebesgue%7D$ 控制收敛定理)如果 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cxi%20_n%3D%5Cxi%20$ ，且存在可积的非负随机变量 $%5Ceta$ ，使得 $%5Cleft%7C%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%7C%5Cle%20%5Ceta%20$ ，那么 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_n$

(1)的证明思路：记 $%5Ceta%20_n%3A%3D%5Cunderset%7Bk%5Cge%20n%7D%7B%5Cmathrm%7Binf%7D%7D%5Cxi%20_k$ ，然后用Levy单调收敛定理;(2)的证明思路：对 $%5Ceta%20-%5Cxi%20_n%2C%5Ceta%20%2B%5Cxi%20_n$ 用 $%5Ctext%7BFatou%7D$ 引理

定理4.1.3 (1)如果 $%5Cxi%3D0$ 几乎处处成立，则 $%5Cxi$ 可积且 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D0$ ;(2)如果 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20%3D0$ ，则 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3BA%20%5Cright)%20%3D0$ ;(3)如果 $%5Cxi$ 可积，那么 $%5Cxi%3D0$ 几乎处处成立等价于对任意的事件 $A$ ，成立 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3BA%20%5Cright)%20%3D0$ ;(4)如果 $%5Cxi$ 是非负的，则 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%3D0$ 可以推出 $%5Cxi$ 几乎处处为0

§4.2 期望的计算公式

定理4.2.1 一个离散随机变量 $%5Cxi$ 可积当且仅当 $%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7B%7Cx%7C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D%3C%5Cinfty%20$ ,此时

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7Bx%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$

推论4.2.1 设 $%5Cxi$ 是一个离散随机变量， $%5Cphi%20$ 是定义在 $R$ 上的函数，则 $%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20$ 可积当且仅当 $%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$ 绝对收敛，此时

$%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%3D%5Csum_%7Bx%5Cin%20R%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%7D%5E%7B%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%7D$