【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep53】第三波习题继续进行

我们先复习一下实数完备性第二个定理的内容：单调有界数列必有极限。

我们把这个定理换一种更好应用的方式表述——单增有上界数列必有极限，单减有下界数列必有极限。

而这个定理常常会用到的地方——

1. 典型能看出来单调的数列，比如我们学到后面的正项级数收敛的判定法中，就有这条定理的应用；

2. 考试的时候，如果遇到“证明XXX迭代数列是收敛的”优先考虑能不能用这个定理——迭代数列是拿一个数列的前若干项表示an的方式，比如最简单的迭代数列a1=1，an=an-1+1就是首项为1，公差为1的等差数列。

这个定理的用法也很简单——

1. 判断迭代数列是否单调？——是，进第2步，否，考虑其他办法；

2. 判断迭代数列是否有界？——是，进第3步，否，则数列发散；

3. 由1、2可知数列是有极限a的，那么我们令n趋向于无穷大，就可以得到一个关于极限a的方程，解出方程即可得到极限a。

我们在Ep27聊过几个常用的不等式，其中最后一个是均值不等式，该不等式涉及到四个均值——

我们一般前三个就够用了。

今天我们聊的例题就与其中的几何平均数、算术平均数、调和平均数有关。

35例题

4.等差-等比中项——

用算术平均数、几何平均数构造两个数列{an}和{bn}，给定正数b<a，a1=（a+b）/2，b1=（a+b）^（1/2），……，an=（an-1+bn-1）/2，bn=（an-1bn-1）^（1/2），分析过程——

1. 由均值不等式知，对任意n，bn<an；
   

2. 显然，ak是ak-1和bk-1的中点，所以bk-1<ak<ak-1，即数列{an}为单减数列；

3. 而bk-1=（bk-1^2）^（1/2）<（ak-1bk-1）^（1/2）<（ak-1^2）^（1/2）=ak-1，即bk-1<bk<ak-1，即数列{bn}为单增数列；

4. 由1、2、3知，b<bn<an<a，则数列{an}和{bn}都是有界数列；

5. 由“单调有界原理”知，数列{an}和{bn}都有极限A和B；

6. 我们令迭代公式两侧n趋向于无穷大，即lim an=lim（an-1+bn-1）/2=（lim an-1+lim bn-1）/2，即A=（A+B）/2，得到A=B；

   或者lim bn=lim（an-1bn-1）^（1/2）=（lim an-1 lim bn-1）^（1/2），即B=（AB）^（1/2），得到A=B；

7. 所以，这两个序列有公共极限M，我们称之为“等差-等比中项”。

 5.等差-调和中项——

用算术平均数、调和平均数构造两个数列{an}和{bn}，给定正数b<a，a1=（a+b）/2，b1=2/（1/a+1/b）=2ab/（a+b），……，an=（an-1+bn-1）/2，bn=2an-1bn-1/（an-1+bn-1），分析过程——

1. 由均值不等式知，对任意n，bn<an；
   

2. 显然，ak是ak-1和bk-1的中点，所以bk-1<ak<ak-1，即数列{an}为单减数列；

3. 而bk-1=2/（1/bk-1+1/bk-1）<2/（1/ak-1+1/bk-1）<2/（1/ak-1+1/ak-1）=ak-1，即bk-1<bk<ak-1，即数列{bn}为单增数列；

4. 由1、2、3知，b<bn<an<a，则数列{an}和{bn}都是有界数列；

5. 由“单调有界原理”知，数列{an}和{bn}都有极限A和B；

6. 我们令迭代公式两侧n趋向于无穷大，即lim an=lim（an-1+bn-1）/2=（lim an-1+lim bn-1）/2，即A=（A+B）/2，得到A=B；

   或者lim bn=lim 2an-1bn-1/（an-1+bn-1）=2（lim an-1 lim bn-1）/（lim an-1+lim bn-1），即B=2AB/（A+B），得到A=B；

7. 所以，这两个序列有公共极限C，我们称之为“等差-调和中项”。

明天继续！