多边形内角和公式的推导

一、知识回顾

1、多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、三角形内角和等于180度。

二、产生问题

问题一：除了三角形外，其他多边形的内角和是多少？

       首先研究四边形，对于特殊的矩形，例如正方形、长方形，容易发现每个内角都是90度，那么内角和为360度。

问题二：特殊四边形的内角和是360度，那么任意的四边形的内角和是否也是360度呢？

       最简单直接的方法就是采用量角器去测量每个内角的度数，再求出这个四边形的内角和。然后会发现不止特殊四边形的内角和度数为360度，任意的四边形的内角和的度数也为360度。

       那除了测量，我们还能怎样得出这个结论？从三角形的180度到四边形的360度，是不是含有某种规律呢？如果有规律，这种规律可以应用到更多边数的多边形上吗？

方法一：

       对于任意的四边形，如果我们连接相对的顶点，会出现两个三角形！这样能发现什么呢？

        我们很快得到：任意的四边形，均可分成两个三角形，内角和是2倍的三角形内角和，也就是360度。

        那么这种方法在更多边数的多边形求内角和时还能用吗？如果能用的话，应该怎样划分呢？

        前面，我们连接了四边形中相对的顶点，对于五边形，这个作法失效了，但是，我们连接的目的是求出内角和，我们利用了连接线段，将四边形分割为两个三角形，进而得到内角和，那五边形从这个分割三角形的角度可以做吗？

        答案显然是可以的。

        四边形可以分割为2个三角形，五边形、六边形分别分割为3、4个三角形，这其中会有规律吗？下面我们简单将其列成表格：

根据对应关系，我们很快就得到n边形内角和公式是：（n-2）*180度

方法二：

        除此之外，我们利用三角形进行分割的方式还有很多，法一的根本在于从一个顶点出发，连接其他顶点构成三角形，那如果不从顶点出发而在内部任选一点呢？

        显然，这个方法也可行，仍利用了三角形内角和，但在凑角度时会发现，所有三角形在内部点处凑成了一个周角，所以要减去360度，此时，有几个顶点就能分成几个三角形，一样可以得到我们的多边形内角和是：（n-2）*180度

三、总结

       从三角形、四边形、五边形等多边形分割，我们利用不同的分割方式得出了同样的结论，特殊到一般之间的转化思想在许多不起眼的地方已经体现，除了上文的两种方法，可以尝试继续移动分割的起点，看看是否能得到多边形的内角和公式吧！