【数学基础24】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

3. 收敛数列必有界；

4. 有限个无穷小的和还是无穷小；

5. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

6. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

11. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

12. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

13. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

14. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

15. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

16. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'；

17. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

18. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

求下列数列{an}的极限lim an：

a.an=（1+b^n）^（1/n），b>0

b.an=[1+b^n+（b^2/2）^n]^（1/n），b>0

解：

a.

1. 若b<=1，则1<an<=2^（1/n），lim 2^（1/n）=1，所以lim an=1；

2. 若b>1，则an=（1+b^n）^（1/n）=b*（1+1/b^n）^（1/n），所以lim an=b.

b.

1. 若b<=1，则1<an<3^（1/n），lim 3^（1/n）=1，所以lim an=1；

2. 若1<b<2，则

   b<an=[1+b^n+（b^2/2）^n]^（1/n）=b*[1/b^n+1+（b/2）^n]^（1/n）<b*3^（1/n），

   所以lim an=b；

3. 若b>=2，则

   b^2/2<an=[1+b^n+（b^2/2）^n]^（1/n）=（b^2/2）*[（2/b^2）^n+（2/b）^n+1]^（1/n）<（b^2/2）*3^（1/n），

   所以lim an=b^2/2.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知向量a，b，c，d满足条件axb=cxd=axc=bxd.证明a-d与b-c共线.

证：（a-d）x（b-c）=axb-axc-dxb+dxc=axb-axc+bxd-cxd=0，即a-d与b-c共线。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子胥 编）》）——

证明：任意n阶方阵都可以表成一个对称方阵和一个反对称方阵的和，并且这种表示法是惟一的。

证：

a.存在性

1. 设A为任意一个n阶方阵，则易知B=（A+A'）/2为对称矩阵，C=（A-A'）/2为反对称矩阵；

2. 则A=B+C

b.唯一性

1. 设另有A=B1+C1，其中B1'=B1，C1'=-C1；

2. 则A'=（B1+C1）'=B1'+C1'=B1-C1；

3. 由1,2，B1=（A+A'）/2，C1=（A-A'）/2，则B1=B，C1=-C。

证毕。

到这里！