2023数分Day87-90（曲面积分2-5：Gauss公式一、二、三+Stokes公式）

一、整体感受

不难，涉及一些转换，本质还是求积分。

考察的最多的还是Gauss公式，以及Gauss和Stokes公式的灵活运用

二、需要复习以及做题过程中要掌握熟悉的点

（一）最重要的两个公式

1、Gauss公式【几乎每道题遇到】

2、Stokes公式【Day90每道题都用到】

3、Stokes公式中的右手定则【数分下定理22.6，Day90题2遇到】

4、Gauss公式和Stokes公式比较：

①Gauss公式是将第二型曲面积分转化为三重积分；

Stokes公式是将第二型曲线积分转化为第二型曲面积分；

②很多用Gauss公式的题，题干给的是第一型曲面积分，利用二者的联系转换为第二型曲面积分，然后再利用Gauss公式转化为三重积分来做，最后变成一个算三重积分的问题！

同样地，很多用Stokes公式的题，题干给第二型曲线积分，然后转化为第二型曲面积分！

5、补充：一二型曲线积分转换的公式【可见专栏Day85：曲线积分3】

6、定理22.7（4个充要条件等价，Day90题3用到，非常关键）

（二）具体题目中考察的一些知识点

1、专栏“Day83补充”的积分公式二【Day87题3遇到】

2、两类曲面积分的转化公式【Day88题1、题4遇到；Day89题2用到】

3、旋转曲面方程【Day88题2遇到，专栏Day81】

4、方向导数以及梯度公式【Day89题2，专栏Day63】

5、曲面的单位正法向量如何求【Day90题1】

（三）一般情况下曲线与曲面积分求解知识点汇总

三、具体题目

Day87（曲面积分2：Gauss公式一）

1【北京工业】

不难，考察对Gauss公式的应用。

①先记所求曲面积分为I,S所围成区域为V，再记P,Q,R且在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz

②由于符合Gauss公式的存在条件，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求。

③再观察到题干中对S的方程，可以化简一下，然后做变量替换，令x+y=u,y=v,z=w;

④在新的坐标V'下求三重积分，注意Jacobi行列式不要漏了

⑤再利用V'关于关于vw平面对称，于是2uv的积分值为0；

再利用轮换对称性，得到u^2,v^2,w^2的三重积分值相等且等于三个积分值相加再除以3。

⑥于是I=4u^2的三重积分，因此等于4/3(u^2+v^2+w^2)的三重积分。看到被积函数的形式，想到用求坐标变换，算一下即可，注意J=r^2sinφ（2这个平方不要漏掉），求得最后结果。

2【中山大学】

源于华师大课本原题

①先记所求曲面积分为I,S所围成区域为V，再记P,Q,R且在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz

②由于符合Gauss公式的存在条件，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求。

③注意到Σ的对称性是关于平面x=1对称的，取值互为相反数，于是让被积函数x凑一下，凑成(x-1)+1，x-1的积分值为0；

④最后就是变成求2倍的球体面积即可。（注意球的体积公式是V=4/3πr^3，不是r^2!!）

3【南开大学】

①观察题干。先画图，题干设计到旋转抛物面以及柱面，画出来。

②记所求曲面积分为I,S所围成区域为V，再记P,Q,R且在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz

③由于符合Gauss公式的存在条件，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求，对于这个三重积分采取先二后一的思路，由于被积函数出现x^2以及y^2，考虑极坐标变换再来做会简单一点。

【注：做完极坐标变换以后那个积分可以选择拆开直接求解，也可以选择做一次三角换元，因为看到了4-r^2的形式，于是可以令r=2sint，最后得到的一个积分式子可以选择凑微分，或者选择专栏“Day83补充”中的积分公式来做，都可以，如果要用这个积分公式做一定要记清楚！！】

Day88（曲面积分3：Gauss公式二）

1【武汉大学】

①观察到题干这个是第一型曲面积分，可能需要利用到第一型曲面积分和第二型曲面积分的关系，αdS=dydz;βdS=dzdx;γdS=dxdy;记曲面积分为I

②将曲面积分转化为第二类曲面积分之后，关注到题干对S的方向，把图画出来，然后做补面S1：z=0,x^2/a^2+y^2/b^2≤1，方向与S的相反，取下侧；于是S+S1围成了区域V：x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≤1，z≥0；

③对于S1，由于z=0，那么dz=0于是S1上积分为0；

④对于I=S上积分=（S+S1）上积分-S1上积分，又因为S1上积分为0，所以I=(S+S1)上积分，由于封闭可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求。

⑤注意到这个是球，于是选择用广义球坐标变换，注意φ干范围是在【0，π/2】；Jacobi行列式abcr^2sinφ也不要漏了；最终得出结果

2【西北大学】

①观察题干，发现出现旋转曲面，把旋转曲面方程写出来，

具体如何写见专栏“Day81(三重积分1：投影法与截面法)”

，绕谁转谁不动，另一个变成根号下另两个的平方和

②画图，发现这个曲面Σ方向是下侧的，于是加一个补面Σ1：z=e，x^2+y^2≤1（这个e是因为y=1时，z=e），应该取上侧;因此Σ和Σ1围成有界闭区域V；

③由于封闭可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求。

④Σ+Σ1上积分算出来为0；

⑤I=（Σ+Σ1）上积分-Σ1上积分；由于Σ+Σ1上积分算出来为0；于是I=-Σ1上积分，又因为是在Σ1上面，把z=e代入，化简，进而求出来最后取值。

3【四川大学】

①先记所求积分为I，观察题干结合作图，这是个球面，球心为（0,0,1），对于题干这句法向量与z轴正向的夹角为锐角，我们不妨假设一下，如果Σ取外侧，那么夹角是钝角，不行，所以Σ取内侧，因此我们做的补面Σ1：z=1,x^2+y^2≤1，且应该方向取下侧；

②Σ和Σ1围成有界闭区域V，由于封闭可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求，求出来Σ+Σ1上积分值为-2/3π（半个球的体积公式为2/3πR^3）

③I=（Σ+Σ1）上积分-Σ1上积分；由于（Σ+Σ1）上积分=-2/3π；接着去算Σ1上积分，因为z=1，于是dz=0，因此这个积分值为-π；因此I=-2/3π-（-π）=π/3

4【复旦大学】

①先画图，一个锥面和球面截出来的图形得到之后；记P,Q,R，记曲面积分为I，将F看成一个力，利用两类曲面的关系，将I从第一类曲面转化为第二类曲面，观察到由于S取上侧，那么补的平面S1：z=根号2/2，x^2+y^2≤1/2，且应该取下侧，S与S1围成封闭区域V

②由于封闭可利用Gauss公式，P,Q,R在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求；处理这个三重积分发现V关于x和y是对称的，因此x和y的三重积分值为0，该积分化简为4z的三重积分，运用先二后一求出S+S1上积分值为π/4；

③在S1上，由于z=根号2/2，所以dz=0，因此该曲面积分为-π/2（过程涉及极坐标变换）

④I=S上积分=（S+S1）上积分-S上积分=π/4-（-π/2）=3/4π

Day89（曲面积分4：Gauss公式三）

总体计算量大，但思维量不大；

整体思路就是：有瑕点就挖掉

1【河海大学】

①作图，根据Σ方向确定Σ1的方向；又因为这里发现原点是瑕点，得挖掉，于是记V中挖掉的一个以原点为球心，ε为半径的小球V1（ε>0），设V1表面为Σ1，方向取内侧；

记所求曲面积分为I,于是Σ+Σ1所围成封闭区域为V-V1，再记P,Q,R且在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz

②由于符合Gauss公式的存在条件，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求，求出Σ+Σ1上的曲面积分=0

③Σ+Σ1上的曲面积分=V-V1上的三重积分，

④I=Σ上曲面积分=（Σ+Σ1）上的曲面积分-Σ1上曲面积分=（V-V1）上的三重积分-（V1）三重积分=0-（V1）上三重积分=-V1上的三重积分，

又因为V1对应Σ1上曲面积分，且方向取内侧，所以前面得加个负号，

因此I=-Σ1上曲面积分=V1上三重积分，此时再次利用一下Gauss公式，求出最后结果；

2【苏州大学】

①先观察题干，发现等式左侧为三重积分，右侧第一个式子为第一型曲面积分，右侧第二个式子为三重积分；所以自然地会想到让这个曲面积分转换为三重积分来做。

②观察到题干中有涉及方向导数以及梯度等概念；

所以先把单位法向量n设出来，n=（cosα，cosβ，cosγ），

利用一、二类曲面积分的关系（将一类曲面转化为二类曲面），以及利用方向导数的公式un=（ux,uy,uz）*（cosα，cosβ，cosγ）化简这个曲面积分；

③由于满足Gauss公式的使用条件，将其化成三重积分，然后两两分类（利用求导想到要两两分类，这一步稍微有技巧），其中一类可以利用梯度定义得到，这两个即为题干中另外两个三重积分，移项便得到最后要证明的等式。

注：要明确梯度定义以及方向导数定义，以及一二类曲面化简公式。

3【中国海洋大学】

①先记曲面积分为I，注意到这个求的公式，以及要求曲面积分的分母，可以得到分母应该为3；化简这个积分。

②关注到Σ的积分方向为上侧，那么我的补面Σ1：z=0，x^2+y^2≤9，定向得取下侧，于是Σ+Σ1构成了封闭区域V：x^2+y^2+z^2≤9，-3≤z≤0；

③再记P,Q,R且在V上存在连续偏导数，求出Px,Qy,Rz;

由于符合Gauss公式的存在条件，将这个第二型曲面积分转化为三重积分求，求出Σ+Σ1上的曲面积分=-（81/2）π;

④求Σ1上曲面积分，由于z=0,那么dz=0，因为Σ1上曲面向下侧，所以转换成三重积分时候得加个负号，算出来积分值为-27π；

⑤I=Σ上曲面积分=Σ+Σ1上积分-Σ1上积分；

同时Σ+Σ1上积分=V上积分=-（81/2）π；

Σ1上积分=-27π；

因此I=-（81/2）π-（-27π）=-（27/2）π

Day90（曲面积分5：Stokes公式）

1【太原理工】

①先求出曲面的单位正法向量

记F=4x^2+y^2+z^2-1，于是Fx=8x,Fy=2y,Fz=2z,因此得到n=(Fx，Fy,Fz)，再单位化得到单位正法向量

②利用Stokes公式，将这个曲线积分I转化为第一型曲面积分，写出P,Q,R；

③然后利用第一型曲面积分转换为二重积分的计算公式1【这个公式可见Day86的专栏】，转换成一个二重积分后，求解这个二重积分，需要做投影，利用一下极坐标变换，不过注意一下由于投影是4x^2+y^2≤1，所以设2x=rcosθ，y=rsinθ；算出Jacobi行列式为(1/2)r;最后I=0

2【中国科学技术大学】

①先把平面和球面截出来的部分记出来，记为S，取右侧为正方向，则S的正侧和F的正方向满足右手定则

②注意到球的球心（1，1，0）恰好在平面x+y=2上，所以平面截球的时候经过了球的球心，所以截出来的平面是一个大圆，于是它的面积就是πR^2=π*（根号2）^2=2π；

③求曲面（平面是一种特殊的曲面）的单位正法向量（也就是S正侧的单位法向量）；这里选择平面x+y=2，对它操作，比球的曲面做起来简单，设F=x+y-2，于是Fx=1,Fy=1,Fz=0,因此n=(Fx,Fy,Fz)=(1,1,0),再对n单位化即可得到S正侧的单位法向量（即曲面单位正法向量）；

④利用Stokes公式，将这个第二型曲线积分转化为第一型曲面积分；得到结果。

3【复旦大学】

很有技巧，首先要知道充要条件，然后还要有敏锐观察；

①先观察题干，为了方便，可以先记P-f=P*,Q-g=Q*,R-h=R*;

②然后利用全微分的充要条件（即定理22.7条件3与条件4为等价的使用）

③利用上述充要条件得到了三个方程，然后通过观察，由于是求存在，所以找一组即可，通过敏锐的观察，发现取f=bz,g=cx,h=ay可以使上述三个方程同时成立，也就是得到题干要求的是全微分，得到结果。