[光线追踪] 03 -- 蒙特卡洛积分

2022-05-24 13:10 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

在上一篇专栏里描述了两种渲染模型 -- 半球模型和面积模型, 两种模型都给出了包含积分项的式子, 那么渲染实际上就是求积分的近似值. 那么这篇专栏就来讨论如何求解这个积分.

蒙特卡洛积分

在深入讲解积分内包含求解量的复杂积分前, 首先来看看最简单的积分 $I%3D%5Cint_a%5Ebf(x)dx$ .

如果这个积分无法直接求出, 那么有很多方法可以求得这个积分的近似值, 但是这里不会介绍 Gauss–Kronrod 求积之类复杂的东西.

首先回顾积分的定义可以知道: $I%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5Enf%5Cleft(%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7Di%5Cright)$ , 在学习积分时, 常把积分看作一吨长方形面积相加, 上式的 $f%5Cleft(%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7Di%5Cright)$ 作为长方形的高, $%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D$ 作为底. 但是可以把符号进行重新解释: $x_i%3D%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7Di$ 作为某种均匀分布在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的采样, 并且 xᵢ 的概率密度函数为 $p(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D$ , 那么积分定义可以改写为 $I%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7Bf(x_i)%7D%7Bp(x_i)%7D$ .

蒙特卡洛积分 (下面简称 MC 积分) 与上式的形式相同, 但 xᵢ 不再是依赖于下标 i 的数值, 而是符合 p 分布的随机数. 那么 MC 积分为 $%5Cleft%5Clangle%20I%5Cright%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cfrac%7Bf(x_i)%7D%7Bp(x_i)%7D%2C%5C%2Cx_i%20%0A%5Csim%20p$ .

例子: $f(x)%3Dx%2Bx%5E2$ , 积分区间为 $%5B0%2C1%5D$ , 使用两种分布展示 MC 积分的正确性: 均匀分布和正态分布(σ=0.5, μ=1.), 如下图所示

使用 10^5 采样数的结果如下:

可以看到两种分布都可以收敛至准确答案附近.

误差 & 重要性采样

在 MC 积分里, 选取合适的分布函数可以使得积分计算快速收敛. 为了量化累加收敛的速度, 需要计算累加项的误差: $%5Csigma%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Csum_i%5Cleft(%5Cfrac%7Bf(x_i)%7D%7Bp(x_i)%7D-%5Clangle%20I%5Crangle%5Cright)%5E2$ , 当 σ 值越小时说明收敛速度越快.

在给定 f 时, σ 的值与分布 p 相关. 为了降低 σ, 应该使每一项 $%5Cfrac%7Bf(x_i)%7D%7Bp(x_i)%7D$ 与 $%5Clangle%20I%5Crangle$ 接近, 当 σ 取最小值 0 时有 $%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bp(x)%7D%3D%5Clangle%20I%5Crangle$ , 也就是当分布 p 为 f 本身时使得误差最小. 但绝大部分情况下, f 分布是很难或不能求出的, 所以应该选取与 f 尽可能接近的分布 p, 这就叫做重要性采样.

例子: f(x) = x + x², 积分区间 [0, 1], 考虑 3 个积分: 均匀分布, 正态分布 (σ=.5, μ=1) 和正态分布 (σ=.5, μ=0), 如下图所示

使用 10^5 采样数计算误差为:

可以看到误差与分布形状相关, 分布形状越接近 f 的误差越小.

另外有一个可取的"捷径", 如果需要计算积分 $I%3D%5Cint_a%5Ebf(x)p(x)dx$ , 由 MC 积分给出: $%5Clangle%20I%5Crangle%3D%5Cfrac%7BN_p%7D%7Bn%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf(x_i)%2C%5C%2Cx_i%5Csim%20p$ , 其中 Nₚ 是 p 的归一化因子 $N_p%3D%5Cint_a%5Ebp(x)dx$ , 这种方法可以化简计算.

上面例子使用的程序如下 (julia)

MC 积分在光追里的应用

MC 积分比起其他类型的积分有一个优势, 就是 MC 积分是依赖于采样方法进行的, 也就是说高维积分, 比如半球面上的 $%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df(%5Comega)d%5Comega$ , 如果存在直接从半球面上生成采样的方法 (见采样方法的两篇专栏: 1 和 2), 那么 MC 积分就可以如同一维积分一样直接进行计算, 而其他方法还需要对高维积分下的每个变量进行积分计算.

对于半球模型 (符号就不写完整了, 并且忽略 Lₑ): $L_o%3D%5Cint_%7B2%5Cpi%5E%2B%7Df_rL_o%5Ccos%5Ctheta_id%5Comega_i$ , 可以看到积分里有两个描述分布的项: $f_r$ 和 $%5Ccos%5Ctheta_i$ , 由 MC 积分给出求解: $%5Clangle%20L_o%5Crangle%3D%5Cfrac%7BN%7D%7Bn%7D%5Csum_iL_o%2C%5C%2C%5Comega_i%5Csim%20f_r%5Ccos%5Ctheta$ . 当分布 fᵣcosθ 不能给出时, 可以计算 $%5Clangle%20L_o%5Crangle%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bn%7D%5Csum_if_rL_o%2C%5C%2C%5Comega_i%5Csim%5Ccos%5Ctheta$ , 其中 cosθ 分布即是集中度为 1 的半球分布, 半球采样已经在之前的专栏里讨论过了. 使用 cosθ 分布求解光追的收敛速度尽管没有使用 fᵣcosθ 的那么快, 但也比半球的均匀分布更好, 下面是使用 cosθ 分布 (上) 和均匀分布 (下) 的渲染结果 (64个采样)

对于面积模型: $L_o%3D%5Cint_Af_rL_ov(%5Cvec%20p%2C%5Cvec%20q)%5Cfrac%7B%5Ccos%5Ctheta_%7Bi%2C%5Cvec%20p%7D%5Ccos%5Ctheta_%7Bo%2C%5Cvec%20q%7D%7D%7B%7C%5Cvec%20q-%5Cvec%20p%7C%5E2%7DdA(%5Cvec%20q)$ , 因为入射方向是由 q 确定的, 所以这里是不能使用 fᵣ 或 cosθ 作为分布去计算积分, 因为 q 是分布在物体上的, 所以对物体进行均匀采样, 那么面积模型的求解为 $%5Clangle%20L_o%5Crangle%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bn%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5Enf_rL_ov(%5Cvec%20p%2C%5Cvec%20q)%5Cfrac%7B%5Ccos%5Ctheta_%7Bi%2C%5Cvec%20p%7D%5Ccos%5Ctheta_%7Bo%2C%5Cvec%20q%7D%7D%7B%7C%5Cvec%20q-%5Cvec%20p%7C%5E2%7D$ , 其中 A 是物体的表面积. 看上去面积模型并不能使用 MC 积分化简计算, 但在实际使用里是用面积模型去化简半球模型 (见下).

渲染模型的混合使用

在常见场景里, 发光物体的数量是远远少于不发光物体的数量, 并且光源的直接照射对 Lₒ 的贡献是很大的, 所以在计算 Lₒ 时对每个光源单独计算积分可以使收敛速度大大加快. 所以对算符形式的渲染模型 $L_o%3DL_e%2BK%5Ccirc%20L_o$ 进行修改, 把发光物体和不发光物体分离得到 $L_%7Bo%2C%5Cmathrm%7Bobj%7D%7D%3DK_h%5Ccirc%20L_%7Bo%2C%5Cmathrm%7Bobj%7D%7D%2BK_s%5Ccirc%20L_%7Bo%2C%5Cmathrm%7Blight%7D%7D$ , 其中 Lₒ,obj 代表不发光物体表面的出射辐照度, Lₒ,light 代表发光物体表面的出射辐照度, Kₕ 表示半球渲染, Kₛ 表示面积渲染, 那么这个渲染模型实际为

另外, 因为 light 已经在 Kₛ∘Lₒ 项计算过了, 所以如果出现 Kₕ∘Lₒ 指向 light 时, 应该返回 0 辐照度, 否则意味着 light 会被渲染两次.

最后, 为了化简模型, 可以大胆假设光源不反射任何光线, 即是 $L_%7Bo%2C%5Cmathrm%7Blight%7D%7D%3DL_e$ . 看上去这个假设非常牵强, 但实际上渲染出的图像仍然是足够真实的, 因为在 LDR 渲染里, 光源光线的辐照度可以到 50 以上, 而对比物体的反射光线最大只有 1 左右, 所以这个假设并不是无稽之谈. 但在 HDR 渲染里, 为了渲染真实场景, 部分光源(比如太阳)的辐照度可能到几万以上, 反射光线的辐照度会大于普通光源的辐照度, 这时的这个假设就会造成无法正确渲染了, 但实际上把光源的反射光线算上并不会对模型造成过大的更改.

光追的数学模型到这里就基本上固定下来了, 下一篇专栏对光追程序的结构进行一个简述, 然后就可以开始构建光追的实际程序了.

封面pid: 94213121

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