【零基础学经济：平新乔十八讲阅读笔记Ep17】继续偏题聊数学，一偏偏个十万里！
没出息的Up网购了高鸿业的上下册，手头还有两本曼昆，经济学基础常识，就靠这两本补了，平新乔的书对经济学专业的宝宝来说，难点应该在数学，引入了许多数学模型或者概念，但是对于建模的整个过程描述得还是相对而言太不近人情了。
然而对老碧来说，那些给出了经济学定义的数学模型还能够看明白，没给具体定义直接拿来解题的概念，老碧只能先死记硬背形式，之后再慢慢补相关内容了，比如第9页用到的拉氏函数，老碧选择先记下来再说。至于这个函数是什么意思，或者，是由什么实验导出的一个公式，老碧以后再慢慢了解吧。——不要告诉我，是我又漏看了，这几页我来回都快翻烂了！
今天继续昨天的话题，介绍数学里面两个常用的概念——
首先，数学中的“序”，由三条性质定义——
自反性：a>=a;
反对称性：a>=b且b>=a，则a=b；
传递性：a>=b且b>=c，则a>=c。
就定义了一个偏序，或称为“半序”，一个集合里面所有元素都满足这三个关系，成为“偏序集”或者“半序集”，是《实变函数》中一个很重要的概念。
而如果这个集合中的元素还满足第四个条件：4.双歧性：对任意元素a，b，a>=b和b>=a总有一个成立。则定义了一个“全序集”。
举两个个例子来说明这件事：
a.一个简单的不是全序集的“偏序集”——集合｛1,2,3｝的所有非空子集组成的集合上，“包含”是一个“偏序”，这个集合是｛｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝｛1,2,3｝｝，一个集合包含另一个集合，即后者的元素都是前者的元素，显然——
满足1——由包含的定义得到，任何集合自己的元素都是自己的，比如，｛1｝包含｛1｝；
满足2——集合相等的定义之一，A包含B，且，B包含A，即A=B——反证法——我们知道，A包含B，要么A=B，要么A中间含有至少一个元素不是B的元素，如果A=B不成立，那么，B包含A不成立，导出矛盾，故A=B；
满足3——由“包含”的定义，A包含B，B里面所有元素都是A的元素，B包含C，C里面所有元素都是B的元素，即，都是A的元素，于是A包含C，比如，｛1,2,3｝包含｛2,3｝，｛2,3｝包含｛2｝，所以｛1,2,3｝包含｛2｝；
不满足4——比如｛1,2｝和｛2,3｝就不存在谁包含谁的情况。
b.简单的“全序集”——自然数集中的“>=”定义一个全序，“>=”即在自然数序列中，一个数不会比另一个数出现得早，即前者晚于后者，或者与后者同时出现——
满足1——a>=a，比如1>=1；
满足2——a>=b且b>=a，则a=b——反证法——如果a>=b，且a=b不成立，那么a>b，所以b>=a不成立，导出矛盾，故a=b；
满足3——a>=b且b>=c，则a>=c，比如，5>=4，4>=0，则5>=0；
满足4——任给两个数a，b，a>=b和b>=a总有一个成立，在自然数中，要么一个数晚于另一个数出现，要么后者晚于前者，要么同时出现，无论哪种情况，这两个关系式都是成立的。
类似这种罗列几个公理来定义一个概念的现象，在真正的数学理论中非常常见，尤其每一个数学分支的起点，比如说，皮亚诺公理定义自然数，比如说，距离空间的定义，比如说，拓扑空间的定义，等等。——而牢记例子和反例是学习定义的重要过程，能够更深切地理解这些定义的适用范围。
而在学习《代数学》的过程中，有一个很相似的定义，叫做“等价关系”，我们用“~”表示，可以看作抽象意义的等于“=”，这个定义的1,3与“半序”完全相同，2，则变成对称性：
自反性：a~a;
对称性：若a~b，则b~a；
传递性：a~b且b~c，则a~c。
这个我们也可以举出一些简单的例子和反例来帮助理解——
a.等价关系的例子——三角形的形似关系，两三角形相似，则三个角对应相等
满足1——一个三角形相似于自身，因为它自己的三个角必然和自己的角对应相等；
满足2——如果三角形1相似于三角形2，则1和2的三个角对应相等，则2和1的三个角对应相等，则2相似于1；
满足3——如果三角形1相似于三角形2，则1和2的三个角对应相等，三角形2相似于三角形3，则2和3的三个角对应相等，于是，三角形1和三角形3的三个角对应相等，则1相似于3。
b.满足1、2，不满足3——不含1的正整数集中定义关系：a，b包含不是1的公因数，则a，b具有关系
满足1——a显然与自己拥有不是1的公因数a，比如，2和2具有公因数2；
满足2——如果a，b具有不是1的公因数，反之必然成立，比如2和6具有公因数2,6和2也具有公因数2；
不满足3——比如，2和12有公因数2,12和3有公因数3，2和3没有公因数。
c.满足1、3，不满足2——自然数中的“>=”
满足1、3——我们在上文验证过；
不满足2——比如3>=2成立，推不出，2>=3。
d.满足2、3，不满足1——在实数中定义关系：ab>0——即a，b同号
满足2——如果ab>0，则说明a、b同为整数或者负数，或者由乘法交换律得，ba>0；
满足3——如果ab>0，且bc>0，则a，b，c同号，则ac>0；
不满足1——比如0*0=0，不满足反身性。
很有意思，明天回归正题聊经济学学习！不见不散！
以上例子来自于韩士安，林磊《近世代数》习题中。
