可能是理解无穷小最透彻的方式——使用直觉理解无穷小
背景
无穷小和极限是初等数学和高等数学的分界线。但无穷小很调皮，一会儿等于0，一会儿不等于0，搞的我们无所适从。
其实根本原因是我们的世界是有限的，我们的经验知识也都是有限的。用有限的经验知识来理解无穷，就有点难以建立直觉的认知。
而直觉的认知是所有认知中最易记忆、最易使用的方式！
今天尝试用小锤同学的故事建立一下对无穷小的直觉认知！
切西瓜的游戏
夏天到了，小锤同学爱玩游戏："切西瓜"！ 先把西瓜切成2半，每份是1/2，再把其中的一半又切成2半，变成了1/4。
小锤同学冒出一个问题，如果这么一直切下去，最后能切多小呢？
切下去，最后能切多小呢？
从直觉上说，可以越切越小，切到无穷小。
那么无穷小是一个很小很小的数吗？
无穷小是一个很小很小的数吗？
直觉上，我们很容易把无穷小定义成“很小很小的一个数”。
但是：
只要小锤同学遇瓜切一刀，永远都可以得到一个更小的瓜
所以无穷小不是一个大于0固定的常量
如果我们直觉上认为无穷小是一个“很小很小的数”，那也很正常。
牛顿在1669年也把无穷小量，定义为一个小的不能再小但又不等于0的S常量。
这种定义背后的世界观是：这个世界的物质不可能一直被切下去，最后总会有一个不可分的小量。既然有一个不可分的小量存在，那么这个世界的物质底层就是离散的，不是连续的。
那无穷小可不可以是0呢？
我们小锤同学想：要不干脆把这个无穷小定为0， 省的在这里纠结到底有多小。直接等于0不就搞定了嘛。
如果无穷小为0，也会有一个问题。
一个西瓜 = 无穷小的西瓜 + 无穷小的西瓜+······+无穷小的西瓜 = 0+0+······+0=0
我们小锤同学的西瓜切没了！
所以无穷小也不可能是0！
一步一步接近"无穷小"的思想
小锤同学想： 虽然我不知道无穷小是什么？但我至少知道如何接近无穷小：
当切的刀数n越大，切出来的西瓜就“越来越接近”于0
我们这样一直切下去，这个数字就会“无限趋近于0”
“无限趋近于0”的想法看起来很不错，我们来看看基于这个思想的无穷小的正式定义。
柯西(Cauchy)的定义
柯西在1821年给出了极限的定义，也随之定义了无穷小：
这个定义看起来有点数学，但其实思想就是“动态的接近0”
这里面有两个重点：
无穷小不是一个静态的数，而是一个动态的数列（当n→∞）。
数列是一个动态的（当n→∞），但极限是一个静态的数。
人类对于无穷小的认知，从静态的一个数到了动态的一个数列。
直观上可以这么想像：
小锤同学拿着刀，不停的切瓜的这样一个动态的过程，这个过程是无穷小。
“没有最小，只有更小”的思想
小锤同学觉得“无限趋近的”想法其实还是有些别扭。而且小锤同学一直拿着刀砍个不停，也怪累的。
小锤想起班里面两个大拿的对话
A: “我就是我们班里成绩最好的！”
B: “我不知道我是不是最好的，但我比其他任何一个人的分数都稍微更高一点。”
感觉同学A是狂， 而同学B那就是装···
小锤同学想，无穷小是不是也可以装···一下 :-)
小锤同学： “无穷小，你怎么证明你最小？”
无穷小： “你随便说个数，我就是比你小一点点”
这样理解是不是就简单多了。从忙碌的动态又回到闲庭信步的静态：等着别人来出招，让别人去忙活去吧。
魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的定义
1857年威尔斯特拉斯给出现在通用的极限的定义：
\这个定义就是目前我们微积分教材里面的定义，也是目前学界通用的定义。
这个定义看起来很复杂，但核心思想就是：
小锤同学： “无穷小，你怎么证明你最小？”
无穷小:“你随便说个数”
小锤同学： “好，那我就说个0.000001”
无穷小:“不好意思，我和0的距离( |an−0|)比0.000001小”
小锤同学:“好，那我就说个10的-50次方”
无穷小:“不好意思，我和0的距离(( |an−0|))比10的-50次方小”
无穷小:“还有谁？！”
这里面有几个重点：
虽然是一个静态的方式来定义，但本质上无穷小还是数列(或者函数），所以本质上还是动态的过程
这种定义方式，被称为 语言ε-N语言
这个定义中为什么要出现 所有的所有的n>N 的条件？
因为不用对所有的n都成立。也就是不用一直变小，只要在一个局部一直变小就可以了。
可以想象一下： 小锤同学刚开始切瓜，不太熟练，切的有大有小，但只要在切100刀之后，越切越小就行了，
也可以成为无穷小的数列
{an}={12,14,18,16,17,⋯,1100,1200,1400,⋯}
这个定义牛的地方是：定义数学化，可以用这个定义来计算极限了。
比如我们求 时数列的极限n→+∞时,数列{1/(n+8}的极限
这种定义背后的世界观是：这个世界是无限可分的。
也就是小锤同学可以一直切西瓜切下去，不用担心会切到一个不能切的“原子”。所以世界物质底层是连续的， 不是离散的。
无穷小的历史简述
17世纪晚期，牛顿和莱布尼茨建立了微积分。微积分在多个科学领域都取得了巨大的成功。但微积分的大厦是建立在无穷小量的基础上的。
1734年英国大主教贝克莱，提出无穷小悖论，也叫“贝克莱悖论”。这个悖论的关键问题就是无穷小量究竟是不是零？动摇了微积分的基础，引起了数学界的混乱。
约150年后，柯西和魏尔斯特拉斯等人精确定义了极限的概念。然后把微积分里面的概念，用极限重新定义了一次。使得微积分的基础从无穷小切换成了极限。解决了“无穷小悖论”
理解了极限和无穷小就进入了现代数学，也称为为高等数学。没理解就继续呆在初等数学里面。所以极限和无穷小的概念的直观的理解还是蛮重要滴！
微积分是近似还是精准？
小锤同学想：在定义极限和无穷小的时候，会出现“无限趋近于0” ，那会不会总有一个“无限小的误差”？
以至于建立在极限之上的微积分就是近似，不是精准？
比如小锤同学切的这个西瓜：
编辑切换为居中
微积分可以用这个小三角形的面积来代替小扇形面积。其实就是古代“以曲代直”的思想。
直觉上这两者面积并不相等，最多也就是用三角形的面积近似扇形面积。
小锤同学觉得得来算一下才放心：
简单起见，假设西瓜被平分切成了n份。那么
两者面积之比：
从小锤同学的这个傻傻的计算过程来看：
随着n增加，两者面积比越来越接近于1
只要n取一个固定的数字，三角形和圆形面积比都不会等于1，都有差异
这可能就是我们的直觉会认为微积分是近似而不是精确的来源之一吧
这里是精确等于1的，也就是说三角形和扇形的面积相等了。
这就是微积分的神奇之处：
小锤同学切西瓜的过程中，只要没有切到无穷小，就不相等，
只要切到无穷小，那么扇形面积和三角形面积就相等了。
浅浅的感叹一下
人类认识无穷，其实真滴挺难的。我们生活在有限的世界里，靠什么来理解无穷呢？
今天的物理学仅仅研究、描述所谓普朗克尺度（大约 10的−35次方 米， 10的−44次方 秒）以上的事物。对于普朗克尺度以下的事物，不论是否有那样的事物（即不论是否时空在普朗克尺度上就已经是离散的了），今天的物理学家们还没有任何肯定的说法。
古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但是，到120天，就小于普朗克尺度了( 2的−120次方<10的−36次方 ) 。那么继续“日取其半”下去是否还有物理意义，也许在那个尺度上时空就已经是离散、不可继续分割的了。
理解无穷只能靠思维来想像。而幸运的是，到目前为止，建立在无穷基础上的微积分，在各个领域解决“有限的、离散的”各种科学问题，都还那么精准无偏差。
