[高中数学] 函数单调性与值域 (Ⅱ)

前面简单的介绍了一些简单的基础函数，

接下来，我们则是接着前面所讲，讲讲将这些函数进行处理后的函数的函数单调性。

本文主要是 介绍一些题目的做法

首先了解一些基础知识，

在前面，我们已经了解到了，什么是增函数，什么是减函数。

那么现在在此基础上，我们需要知道一些简单规则，

增函数 + 增函数 = 增函数

减函数 + 减函数 = 减函数

可以简记为

增 + 增 = 增，减 + 减 = 减

另外我们需要了解的是，

在一个 增函数 前面添加一个负号，则变成了 减函数

在一个 减函数 前面添加一个负号，则变成了 增函数

（后面简要介绍） 

那么我们又得到若干规则，如：增 - 减 = 增

但我认为这些都是不需要记忆的，只需要记住背后的原理即可。

那么我们看看，知晓了前文的那些，怎么用呢？

不妨我们简单看看函数

 的单调性，

我们知道，函数  在 上单调递增，而函数  在(0，+∞)上单调递增，从而我们利用上面的规则得到，

函数 在(0，+∞)上单调递增，这是很显然的（定义域由限定住了）

那么再看看我们上一讲所说到的

函数 ，（a>0）的单调性，

我们知道  在 上单调递增，而函数 ，（a>0）在两边分段递增，

从而对于函数 ，（a>0），也是在两边分段递增。

那么就到此为止了。

接下来就算是我们本节课的精髓部分了。

复合函数的单调性！

设函数 可以表示为的形式，则称其为一个复合函数。

这样看起来比较抽象，那么如何直观的解释什么叫复合函数呢？

就像前面所介绍的那样，那些函数毕竟是我们后面无论如何都不可能接触的！但是他们的自由组合版本，我们却经常见到，

比如 ，等

这些看起来稍微复杂的，但实际上却是由两个或若干个函数组合形成的，便称为复合函数。

例如第一个，实际上是由，其中组合而成的函数。

对于复合函数的单调性，满足一个规则，叫做

同增异减

那么什么叫 “同增异减” 呢？

他的意思是，参与复合的两个（一般是两个函数复合，所以这里只讨论这种情况，其他的同学们不妨发散思考）函数，在区间的单调性相同时，则构成的复合函数的单调性表现为 增函数；如果单调性不同，则表现为 减函数。

那么为什么是这样呢？我们不妨简单求证一番。

仍作上面的假设，函数 可以表示为的形式。

不妨令，利用作差

我们观察式子，如果函数递增，则有，也即，只有当函数也是递增时，整体才大于0，也即整体体现递增！

其他的也是类似的，这里不再赘述。

那么至此，我们得到了一个重要性质，同增异减。

那么继续，看到函数，我们觉得他的单调性如何呢？

首先 对于，表现递增，而，则表现递减，从而很容易得到，函数表现递减！

那么事实上也正是如我们所愿。

而对于一些复杂的函数，亦是如此。

那么对于函数  呢？大家也试着分析一下吧。

这里我便不再分析了，结果如图所示。

课后习题系列！     ~    *-*    ~

评注：

（2）注意讨论 这次的学习的函数与上次的对勾函数，进行分类讨论与取舍