《几何原本》命题2.12【夸克欧氏几何】

命题2.12：

在钝角三角形中，斜边上的正方形大于钝角两边上的正方形之和，其差为由一钝角边与该边上的高的垂足到钝角顶点之间一段所构成的矩形的二倍

已知：钝角△ABC，其中∠BAC是钝角，BD⊥AC，垂足为点D

求证S正方形BC2=S正方形AB2+S正方形AC2+2S矩形AC×AD

证：

∵点A在CD上

（已知）

∴S正方形CD2=S正方形AC2+S正方形AD2+2S矩形AC×AD

（命题2.4）

∴S正方形CD2+S正方形BD2=S正方形AC2+S正方形AD2+2S矩形AC×AD+S正方形BD2

（公理1.2）

∵Rt△ABD中，S正方形CD2+S正方形BD2=S正方形BC2

（命题1.47）

∴S正方形BC2=S正方形AC2+S正方形AD2+2S矩形AC×AD+S正方形BD2

（公理1.1）

∵Rt△BCD中，S正方形AD2+S正方形BD2=S正方形AB2

（命题1.47）

∴S正方形BC2=S正方形AB2+S正方形AC2+2S矩形AC×AD

（公理1.1）

证毕

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