不定积分的概念
牛顿393、不定积分的概念
2014-03-20，网友“医者仁心326”上传名为《不定积分的概念和性质》的文档。
…不，定，积、分、积分，定积分，不定积分：见《牛顿353~364》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…性、质、性质：见《欧几里得37》…
文档内容：
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
第四章 第一节 不定积分的概念和性质
一、不定积分的概念
二、基本积分表
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
三、不定积分的性质
一、不定积分的概念
定义1 若在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f（x）[即对任一x∈I，都有：F’（x）=f（x） 或dF（x）=f（x）dx]，则称函数F（x）为f（x）在I上的原函数。
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…∈：数学符号“属于”…见《牛顿303》…
（…数、学、数学：见《欧几里得49》…
…符、号、符号：见《欧几里得160、161》…）
…d：differential（微分）首字母…
[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。
adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。
——《牛顿321》
dx什么意思？？——网友提问
2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。
dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。
dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。
——《牛顿3》]
例
（x^3/3）’=x^2
x^3/3是x^2在（—∞，+∞）上的原函数；
…^：乘方…
…x^3：x的3次方…
（sin x）’=cos x
sin x是cos x在（—∞，+∞）上的原函数。
原函数存在定理：
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…原函数存在定理：又名积分上限函数求导定理…见《牛顿361》…
区间内的连续函数一定存在原函数。
…连、续、连续：见《欧几里得44》…
若函数有原函数，显然其原函数不是唯一的。
例
（x^3/3+1）’=x^2，x^3/3+1是x^2的原函数；
（x^3/3+2）’=x^2，x^3/3+2是x^2的原函数；
结论：x^3/3+C（其中C为任意常数）都是x^2的原函数，而且也是它的全部原函数。
…常、数、常数：见《欧几里得132》…
定理1 若F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数，则F（x）+C（C为任意常数）就是f（x）在I上的原函数的全体。
证明
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
设Φ（x）是f（x）在I上的任意一个原函数[即对任一x∈I，都有：Φ’（x）=f（x）]，则：
[Φ（x）-F（x）]’=Φ’（x）-F’（x）=f（x）-f（x）=0
（“此处运用了求导法则，函数和的导数 等于各个函数的导数的和。”现代学者说。
…求导法则：见《牛顿366》…
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…）
…Φ：第21个希腊字母。读音：fài…见《牛顿359》…
由拉格朗日中值定理的推论可知，Φ（x）-F（x）=C或Φ（x）=F（x）+C，其中C为常数。
…值：见《欧几里得74》…
…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~389》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…
…拉格朗日中值定理的推论：如果函数f（x） 在区间[a，b]上的导数f’（x）恒为0，那么函数在区间[a，b]上是一个常数…证明见《牛顿388》…
定义2 在区间I上，函数f（x）的原函数的全体F（x）+C（C为任意常数），称为f（x）在I上的不定积分，记作∫f（x）dx，即∫f（x）dx=F（x）+C
…∫：积分符号，为字母s的拉长…见《牛顿338》…
由定义2，我们有
∫x^2dx=（x^3）/3+C
…^：乘方…
…x^2：x的平方…
{
[（x^3）/3+C]’=[（x^3）/3]’+C’
=1/3·（x^3）’+0
=1/3·3·x^2
=x^2}
∫cos x dx=sin x+C
根据不定积分的定义，可以得到如下关系式：
[∫f（x）dx]’=f（x）或d[∫f（x）dx]=f（x）dx
∫F’（x）dx=F（x）+C或∫dF（x）=F（x）+C
（∵ d[∫f（x）dx]=f（x）dx=dF（x）
∴ ∫dF（x）=∫f（x）dx=F（x）+C）
如果忽略常数C，不定积分运算与求导运算（或微分运算）互为逆运算。
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…微、分、微分：见《牛顿321~336》…
例：设曲线过点（1，2），且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…
…方、程、方程：见《伽利略53》…
（…《伽利略》：小说名…）
解 设曲线方程为y=f（x），根据题意知：dy/dx=2x，
则 f（x）=∫2xdx=x^2+C。
而曲线过点（1，2）可知C=1，
因此所求曲线方程为y=x^2+1。
函数2x的不定积分为∫2xdx=x^2+C，而y=x^2+C的图形是一簇抛物线。
函数f（x）的不定积分∫f（x）dx=F（x）+C是一簇函数，y=F（x）+C的图形是一簇曲线，这簇曲线称为积分曲线簇。
“既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
请看下集《牛顿394、基本积分表：根据求导公式得出积分公式》”
若不知晓历史，便看不清未来
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