关于覆盖维数的进一步讨论 续

引理  设X是正规空间，则 

  （1）对X的任意点有限的开覆盖U=【Us；s∈S】存在一个开收缩ν=【νs；s∈S】满足条件；对任意的s∈S，clνs⊂Us 

  （2）对X的任意有限闭集族F=【Fi；i=1，…，K】及开集族U=【Ui；i=1，…，K】若对任意的i≤K，Fi⊂Ui，则存在一个开集族ν=【νi；i=1,…，K】使得Fi⊂νi⊂clνi⊂Ui且【clνi；i=1,…，K】是F的一个膨胀。

利用上述引理，我们能得到覆盖维数的下面等价形式

定理

设X是正规空间，则下列条件等价；

a  dimX≤n;

b  X的任意有限开覆盖U=【U1，U2，…Uk】 都存在一个开收缩 V =【V1，V2，…Vk】使得ordV≤n   且对任意的i≤k，clVi⊂Ui

c  X的任意由n+2个元组成的开覆盖U=【U1，U2，…Un+2】都存在一个开收缩V=【V1，V2，…Vn+2】使得 V1 ∩ V2 ∩ V3…∩ Vn+2=Φ;

d  X的任意有限开覆盖都存在一个秩小于等于n的闭收缩。

可数和定理   设X是正规空间，n是自然数。若X=F1∪F2∪…F∞，这里Fi是X中的闭集且dimFi≤n（i=1,2,…∞)，则dimX≤n。